CHAPITRE Mil. — LA FORME TRILINEAIRE

pond à (x), elle admet comme invariant la forme en (r,) el (Ç) Çi = — x\ (b, CiV)! £,-(- f, «, ri2 Ç..J-+- ai ^i ÏJ3Ç2 )

-I- a72^3(«2«3T)l SI + 62è3-/j2 Ç.3-+- C2C3TI3Ç2)

— a?| ( /•>:> Co 7)2 £2 c2 a2 r(3 Ci -+- «2 62 r( , Ç3 ) -+- ;r3.r,i '/^v,-^^^ 636, rç3Çi + CjC|ï,i rs ) - x\ I &3c3rl3Ç3-4- c;. rt:J rn £,+ « 3 & :t t\ , l , ) -+- XiX%(ax a27)3Ç3H- 6, 62Trj, Ç2-i- Ci c2t)2Ç] ),

dont la formation est évidente.

On obtient de même, en remplaçant X par Y ou Z, deux autres formes analogues <p2 et tp3, dont nous n'écrivons que les premiers

termes

<?2 = — y 1 ( &3c2 Ci £1 -+- ai 63 Ç2 b -+• «1 c2 :3 ;, )

+ J'2j>'3(«2«3^1^+C,C3^ï;i+ 6t 62Ç3?2) H-!..; 03= — -ZK62C3£17)1-+- «lC3^2î)3i4- «iMs"^)

-+- -2 -3 ( «2 «3: i'1 1+ blb3^2r\3-+- clc2;:irl,)->l-

L'opération symbolique

conduit à l'invariant

/ d(0o £?Cp3 t)o2 dcp3 t)cp2 ^'f 3\ /^<p2 ^rf3 ^<?2 ^3 ^?2 ^93

W'i <tyi ày2 àrrî dy3 ^3/\^i c)^, £^2 <)s2 rf^3 ds3

'% = 6|f (&o^:i^2^3.>'i -î -+- CoC3a,a3j2^s-l- a2a3b2b3y3z2)

-t- ôj ( p — 27 — 2a )72 s3 + 01(7 — 2a — 2 (3 )v3 -2 ]

et l'on a de même deux, invariants analogues -ju et 'j»3, qu'il est inutile d'écrire.

Si maintenant nous effectuons l'opération symbolique

1 /doi d<\>! Vf0?1 d'^ \ /<?«?! <tyl

I2\^i à\x "'] \0ra <)fi / \ «?Çj dzi

nous trouvons l'invariant proprement dit

du sixième degré par rapport aux coefficients. /. ", i ely sont les invariants fondamentaux de f.

330. Calculons maintenant, en considérant'];, comme ne dépendant que des (£), la fonction K2(^,, •bl); on obtient un invariant

semblable à/, soit/' — ~ /•;/', en faisant

/'=(** — 6 3y — Sq)l -r-(rU — G-;a — 8gr)»i + (y* — 6aB — 8?)n. Opérons de même en remplaçant g\ par son hessien h\\ on a

en faisant

K»(Ai.4»0 ^Z+Tog/'-

/• = [«(*> — io8/>) -+- 1 8 3y ss a i ('./>*-] /+ [3 (s3 — u>8/> ) ■+■ 1 8 y**2 -*-ai6jos] /n ■+■ [ï (*3 — ' o8p) — 1 8 a3 .v- -i- 1 1 G/>s] n .

On peut donc regarder comme invariant relatif à/, le réseau tout entier des formes/, ,/"./", correspondant à

F = X1/4-Xï/'+X3/'.

Considérons la cayleyenne -■, de gt, et la forme <!>,, jouant par rapport j F le même rôle que k>i par rapport à /' : formons la fonction rv2(y,, <I>,), en considérant $, comme ne dépendant que des (x), et prenons-} les coefficients de a;, X,X2 et X,X3; nous obtenons trois invariants semblables de la forme

où l'on .i fait

<p" = [ By(2I -S3 43 '• 7-V — 3'2 J// 1 — is( i'3-)- 216/j 1

— 8 gs3 — 1 S<)/>.s •- i l//^/ | À — ... ,

D'ailleurs, on a