CHAPITRE XIII. — LA FORME TRILINÉAIRE. 34j

suite, son élude, qui mènerait aux résultats précédents, demanderait de nouveaux calculs en général.

On a un nouveau réseau invariant d'espèce opposée à F, correspondant à

Si l'on fait la somme des produits obtenus en multipliant chaque coefficient de F par le coefficient correspondant de *I>, on obtient un invariant proprement dit, dont la valeur est, au facteur 3 près,

À, \xxk H- X, ;ju(— 12961) 4- li [J-ii— 1080^ — (j--2j ) -+- À 2 ; j. ! ( - A'1 — .j32{ )

-h X2 ;ju(— 1080 i/c — 9727) -+- X2 ;jl3(— 864 /A2 — i458y'A- + 1 J9968 i'2 ) -+- X3 [Xi (— 86 J î'£ — 1 9 j \j ) -+■ X3 [i2 (— 97V* + ' J99G8° & ) -<- ^3 i-1-:} ( — 6 î8y7i2 -+- 1 1 66/joo j2 /c -t- 1 469664 ij).

Si l'on se donne une forme F par exemple, on voit qu'il existe un faisceau de formes <I> telles que, pour chacune de ces formes et la forme F, l'invariant précédent soit nul; ces formes <t> peuvent être dites conjuguées de F.

Les réciprocités définies par ces formes <ï> entre les espaces \ et Z, quand (£) est considéré comme donné quelconque, forment un système cinq fois infini; chacune d'elles est conjuguée des réciprocités entre les mêmes espaces définies par la forme F, c'est-à-dire que si l'on pose

l'invariant 2 a/y a/y est nul. Les réciprocités <I> ainsi définies sont d'ailleurs les seules qui soient conjuguées de la réciprocité F.

Les séries cubiques qui résultent des formes F et <ï> comme g{, g2j g:] résultent de f, appartiennent toutes aux faisceaux déterminés par ces dernières et leurs hessienne* .

331. Supposons les espaces Y et Z coïncidants, et les éléments (y) et (z) de même espèce. Les invariants précédemment définis gardent leur sens; mais il faut en ajouter d'autres, que nous ne calculerons pas, et qui seront les invariants simultanés des séries cubiques g2 et g3, qui ne peuvent plus être supposées réduites simultanément à la forme canonique.

Il y aura lieu aussi de considérer le réseau de séries quadratiques obtenu en faisant dans y les (y) égaux aux (;); le lieu de l'élé-

ment (yz), quand (y) et (z) se correspondent sur g.2 et ga : . . . . Si les éléments (y) et (z) sont d'espèce opposée, nous remplacerons les (z) par les (Ç), et inversement. La forme /définit alors un réseau d'homographies dans les espaces coïncidants ^ et Z-, la série g2 est le lieu des (y) tels que leurs correspondants dans toutes ces homographie- soient alignés sur un élémenl(Ç), dont le lieu est la série g3. En particulier, l'une des homographies du réseau peut être la correspondance identique définie par (jr|£); on est alors ramené au cas d'un faisceau d'homographies ordinaires.

332. Revenons au premier cas, les éléments (y) et (z) (''tant de même nature, et supposons la forme / symétrique par rapport aux (y) cl aux (z). La forme canonique employée précédemment subsiste alors, avec les hypothèses />, = c(, b.2=c2, 63 = Cs.

On esl ramené à une nouvelle étude d'un réseau de séries quadratiques, dont la jacobienne est la série g2 ou g3.

Les invariants k, i et j ne sont plus distincts. En gardant

et faisant

on a

On remarquera que

La forme/" n'est pas distincte des formes /et/', et à celle-ci nous substituerons

/'1 =/'-*/= («- P)[6P*- (« -+-aP)(m + n)].

On a a 11 - •> 1

? = (a-ioP)X-(5a-+-4P)(fJH-v),

et laissant de côté to", nous ferons

0,;=?'-*? =(a — p)«[6pX-H(a-4p)([* + v)].