CHAPITRE XIII. — LA FORME TRILINÉAIRE. 3 (g
Nous remarquerons la combinaison
o'[ = 8il^—kfi = (a— P)2(a + 8p)2['ipX — a(fx + v)].
Au réseau de réciprocités involutives défini par ~ksf-\-\2f\, correspond un réseau conjugué de réciprocités involutives aussi, de la forme \x, <o -\- uucp'. , avec la condition
X ! [JT.J k -+- 8 X ! ;j.2 i\ -t- 1 6 X2 \X[ i{ — 2 X2 ;jl2 s'i /i" = o.
En particulier, au réseau f coi^respond le réseau m".
La même équation convient pour définir le réseau conjugué du réseau de séries quadratiques obtenu en faisant les (y) égaux aux (s).
Les séries «, et g2 sont chacune la hessienne de trois autres séries cubiques; ici ces séries se séparent en deux groupes, dont l'un est composé des séries g\ et g'2,
g\ — 7 gi-*- i" h[ = (a — ^[aibiGixl -+- a.,b^c,x},
+ azbzc3x\-i!-§$xlx.îxi],
h\ et A2 étant les hessiennes de gs et g2. La cajleyenne de g\ est z\y'u avec
Yl = (a- P)«[a, a, 6, 6, c,c,5î -H... -H p(a-4P)5ib$s];
celle de «'2 est rjy.',, avec
-;, = a2«361r1ji + a3aiè27)§ -4- «t a, b3t]\ -f- (a — 4 p)ïj1Tl2r/3;
cette dernière série est la cajleyenne du réseau de séries quadradratiques défini par f, quand les (z) sont égaux, aux (y); ces formes y', et y!, correspondent d'ailleurs à z>'[ comme gt et g2 à/*,, à des facteurs près.
La condition pour que le réseau F de séries quadratiques défini par y, ait un élément singulier est k2 -+- 6 \ /, = o ; celle pour que le réseau conjugué <ï> ait un élément singulier, ou encore que le réseau F lui-même contienne un élément double, est i\ = o ; on obtient ces résultats en faisant un calcul déjà indiqué.
333. Examinons les différentes particularités qui se présentent
33o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
et les différentes formes canoniques que l'on peut attribuer à la forme /, lorsque cette forme correspond aux différentes espèces possibles de réseaux quadratiques proprement dits.
a. Cas général. — Tout ce qui précède s'applique entièrement.
b. Le réseau <I> contient un élément simplement singulier.
La forme canonique générale s'applique avec bt = o par exemple, et, par suite. [3 = o.
On a
g2 se compose de r, = o el d' ■ série quadratique; g'2 est ,xK = o
huis fois; ■;'., a un élément double: g{ a un élémen! double el g\ se compose de trois éléments alignés.
c. Le réseau 'l> contient deux éléments simplement singuliers. La forme canonique subsiste avec b2 = b3= o, par exemple.
<r2 se compose de trois éléments non alignés : g'3 disparaît : ■;', se compose d'une série quadratique el de y,, = o; gt estformée d'une série quadratique et de x,== o, et g\ se compose d'un élément triple.
d. Le réseau $ contient trois éléments simplement singuliers. La forme canonique subsiste .\^<-c b{ = b2 = b^ = o.
g2 se compose de trois éléments non alignés, ainsi que -;'., cl gx\ g\ ei r , disparaissent.
e. Le réseau F contient un élément simplement singulier.
La forme canonique subsiste avec tf( = o.
On a
Les séries g2j Arô, gn g\ ont chacune un élément double; -;'., se compose d'une série quadratique el de y,, = o.
/'. Le réseau F contient deux éléments simplement singuliers.
La forme canonique subsiste avec rt2 = 03= o.
Les séries g2, -■'.. gt, -, se décomposent chacune en une série quadratique et une série linéaire; yô se décompose en trois séries linéaires.
g. Le réseau F contient trois éléments simplement singuliers.
On a de plus qu'au cas précédent a, = o.
Les séries g2, g'2, gt, g\ se décomposent chacune en trois séries linéaires; il en est de même de y'2.
