CHAPITRE XIII. — LA FORME TRILUSÉAIRE
h. Les réseaux F el $ admettent chacun un clément simplement singulier.
On peut alors employer la forme canonique suivante pour/:
«i^iji-i+ l>i-r-2(yiZi-±-fz~> ) + b3x3y2 z2-\- c3x3(y3zl-+- y1z3).
Il vient
g* = «i b-iyi ( c3yty3 — b3y\ ),
g g — ■ «ll'jy3(-3/l.i
Y :, = ai627)3( 2c3ïj! — 637)3?)!), £•, = — ( 63c^i + «i6| x\xi ), £•', = 5a\b\b3c\x\x3,
g:2 et y', se décomposent en une série quadratique et une série linéaire; g, a un élément cuspidal; etc.
i. Le réseau F admet un élément doublement singulier et le réseau <i> deux éléments simplement singuliers.
On peut employer la forme canonique
bix1(y3z1-hy1z3) -h c1xi(yiz2-hy2zl ) -+- «2^272-2-*- «s^sjs^a;
on a alors
#2 = a2«372jK3(ci72+ &1JK3),
Y', = —a2a3 7)^(0! 7)2 -H CiTl3),
/. Le réseau F admet deux éléments simplement singuliers, et le réseau $ un élément doublement singulier. On peut prendre pour/'
a1x1y1zi->rbix2(y.2z3^-y3z2)-+-ù3r-i(y3z.l-hyiZ;i)-^c^r-Jyizi-hy,z.l)--
alors
g2 = cttbsyKbîys— c3y2),
g L — 62^2(2630337!— aibtxixs), g\ = - ia\b\b3c3x\,
h = o, ii = o.
k. Le réseau F admet un clément doublement singulier; le réseau <ï> admet un élément simplement singulier et un élément doublement singulier.
La l'orme canonique du cas (h) convient avec c:!=o, ou bien celle du cas (?) avec A, = o ou c, = o.
Les particularités sont faciles à énoncer.
/. Le réseau F admet un élément simplement singulier et un élément doublement singulier; le réseau <ï> admet un élément doublement singulier.
La forme canonique du cas (A) convient avec />:i = o, ou bien celle du cas (y) avec b$= o ou c3= o.
m. Les réseaux F et <!> admettent chacun un élément triplement singulier.
La forme canonique générale convienl à nouveau avec les hypothèses a, = 62=o, par exemple.
On a
Yj = ,(.,,1.1,1 f^l,
le- autres invariants sonl nuls.
//. Le réseau '!» admet un élément quadruplement singulier. On peut conserver les formules du cas précédent, avec a3=o. o. Le réseau F admel un élément quadruplement singulier. On peut conserver les formules du cas (m), avec 63= o.
33 1. Si les espaces X. Y, Z coïncident, on aura encore de nouveaux invariants, obtenus en considérant les trois séries cubiques gi: g2, g3 non réduites en même temps à la forme canonique en général. Si les éléments (#), (y), (:■) sonl de même nature, il y aura lieu d'envisager la série cubique /"o obtenue en faisant, dans/, les (y) et les (z) égaux aux (x).
En particulier, on peut supposer la forme / svmélrique par rapport aux (x), [y) et ( - .
La forme canonique générale est alors applicable, sauf exception, avec b, = b2 = b3 = cy — c-> = c3 ; si b est la valeur commune de ces quantités
/o= a{x\-+- ctoxl ■+■ a^rl h- Ç>bXiX%x3\
