CHAPITRE XIII. LA FORME TRILINÉAIRE

les invariants îelj de /'„ sont, avec les notations du n" 332, Ji{ et A-; gK et g-2 sont la hessienne de f0 qui coïncide à un facteur près avec g\ et g'.,.

Les formes y^ , tp', et cp jouent le même rôle, à des facteurs près, par rapport à la hessienne, la cavleyenne et l'invariant s de la série f0, que la forme/" par rapport à cette même série.

Sans insister davantage, on voit que l'on retrouve toute la théorie des séries cubiques, le réseau F, défini par y, étant celui des polaires quadratiques des divers éléments (x) par rapport à f0.

Les différents cas particuliers possibles sont en évidence. Il y a deux autres formes exceptionnelles qui correspondent à

/0= ax'\~ 36a?|a?3, et

yo = '5ax\x*-T- 3bxl x3 ;

dans le premier cas, f0 admet un élément cuspidal ; dans le second, /*„ se compose d'une série quadratique et d'une série linéaire tangente.

On voit que les réseaux de séries quadratiques proprement dits qui peuvent être considérés comme le réseau des polaires quadratiques des divers éléments (x) par rapport aune série cubique sont ceux qui correspondent aux cas («), (d), (e), (/'), (g), (A'), (m).

Réciproquement, si l'on se donne uniquement le réseau dans l'un de ces cas, on pourra trouver au moins une série cubique telle que ce réseau coïncide avec celui de ses polaires quadratiques; il n'y aura qu'une seule solution dans les cas (a), (<?), (/'), (g)', il v en aura une double infinité dans les cas (d), (A"), (m), comme on le constatera facilement.

335. Revenons au cas où les espaces Y et Z seuls coïncident, la forme y étant symétrique par rapport aux (y) et (z) et définissant, comme précédemment, un réseau F de séries quadratiques, proprement dit. Si f0 est ce que devienty quand on y fait les (;) égaux aux (y), on peut considérer cette forme comme définissant une correspondance quadratique entre les espaces X et Y : à l'élément (x) de X correspond dans Y une série du réseau F, d'équation y0= o.

Cette série quadratique se décompose si (x) appartient à g{, et le lieu de son élément double est la jacobienne g.2 du réseau F, An. - I. 23

35vj LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

tandis que le lieu des éléments de seconde espèce dans lesquels elle se décompose est la cayleyenne y., du même réseau.

A une série linéaire (£) deX correspondra un faisceau de séries quadratiques appartenant au réseau F ou. si l'on veut, l'ensemble des quatre éléments communs aux séries de ce faisceau. Les séries décomposables de ce faisceau correspondront aux éléments communs à i ; ) et à gt : le faisceau sera donc composé de séries tangentes ou même osculatrices, si (:) touche gK ou bien est élément tangent stationnai <• pour g , . Les propositions du n° 289 s'appliquent sans difficulté.

Si F est la série qui correspond à | a?), aux -ox éléments tangents

• , contenant (#), correspondent six faisceaux de séries tangentes dont les éléments singuliers doubles sont communs a F et :.'.. et dont les éléments singuliers simples sont communs à F et à la série tangentielle de y',.

\ une série d'éléments (a?) correspondra l'enveloppe des séries quadratiques correspondant a ces divers éléments, et cette enveloppe sera aus>i le lieu des éléments associés qui correspondent aux divers éléments (£) tangents à la série considérée. Par exemple, à une série quadratique correspondra une série quarlique de V d'équation facile à former.

A un élément (jk) ton .-pond un élément (;'» défini par</*0=o; le même correspond aux trois autres éléments associés à (y)- A un élément (•/)) correspond une série quadratique de seconde espèce de \. lieu des éléments : qui correspondent aux différents éléments de (y, ,

\ une série d'éléments (y) correspond le lieu des éléments i : correspondant aux divers éléments de cetie série, et ce lieu est ;« h >r> i l'enveloppe des séries quadratiques qui correspondent aux d.ilférents éléments (v, | tangents à la série considérée. Par exemple, à une série quadratique eu i i -i correspondra une série quarlique en (;) rationnelle.

Quand les séries quadratiques du réseau F ont trois éléments communs, on retrouve la correspondance quadratique Irrationnelle.

Nous n'insisterons pas sur l'étude que nous venons d'esquisser : nous en trouverons d'ailleurs un cas particulier dans le Chapitre suivant.