I. — Les invariants de la série quartique

336. Nous donnerons quelques indien lions seulement sur la théorie des invariants des séries quarliques.

Soit y la forme qui délînil une telle série, renfermant quinze coefficients. Les principaux invariants que l'on peut former sont les suivants : si dans f on fait ■ a^^^^-f- k2 Zi, on obtient une forme biquadratique en (),), dont les invariants i et j s'expriment à l'aide des quantités q; ou ( rr),; ils sont respectivement des degrés 4 et 6 par rapport aux (ç), 2 et 3 par rapport aux coefficients («) de f : leur signification géométrique est évidente. La forme équivalente f est i3 — 2;,/2; les séries i et y contiennent les 24 éléments tangents stationnaires de /', et ne contiennent aucun autre élément tangent de f.

Un autre invariant évident est le hessien h de f, des degrés 6 et 3 par rapport aux (x) et aux (a).

Deux invariants proprement dits, des degrés 3 et 6 par rapport aux (<?), sont K4(/', «'), Iv6(/i,y); une fonction de ces invariants est le déterminant des coefficients des variables dans les six dérivées partielles du second ordre de f.

Ce déterminant est nid, s'il existe une relation linéaire entre ces dérivées partielles; or, c'est ce qui arrive évidemment si /"est sous la forme d'une somme de cinq quatrièmes puissances de fonctions linéaires. On ne peut donc, en général, mettre f sous cette forme, bien qu'elle contienne aussi quinze coefficients.

On voit, de même, que les mineurs du premier ordre ou du second ordre de ce déterminant sont tous nuls, si f peut se réduire à une somme de quatre ou trois quatrièmes puissances.

On obtient deux invariants quadratiques en (x) et (£), des

degrés 5 el { par rapport aux (a), par les opérations K.4(A, i), R'*(/, j) 5 si on les désigne par / et tw, K2(/, /») et K4(/, m- l donnent deux invariants du degré 9 par rapport aux (a); et ainsi de suite.

On remarquera encore l'invariant analogue à /, obtenu en calculant l'invariant /de la série cubique qui esl la première polaire de(.r); on peut alors, par la considération du faisceau formé par/ et cet invariant, engendrer de nouveaux invariants.

II. — La série quartique comme enveloppe de séries quadratiques.

337. Nous allons maintenanl envisager la série quartique comme correspondant à une série quadratique, dans le mode de correspondance défini a la lin du Chapitre précédent.

Soit un réseau V de séries quadratiques, d'équations

.ri./'i 72/2 .' 1/3 o,

les y) étanl des formes quadratiques quelconques en (#); nous supposons d'ailleurs ce réseau propremenl dit, c'est-à-dire que les formes fi sonl linéairemenl distinctes. Nous appellerons^ et y les séries jacobienne et cayleyenne de ci' réseau; nous appellerons aussi A" la série cubique, lien des élénienls ( r ) dans l'espace auxiliaire Y, tels (pie la série F correspondante se décompose; enfin / sera la série cubique de l'espace ,ï donl /. esl la hessienne, et qui se dislingue des deux autres, inséparables, jouissant de la même propriété. Rien n'empêche d'ailleurs de supposer les espaces \ et Y coïncidants et rapportés aux mêmes coordonnées; et si le réseau F peut être regardé comme le réseau des polaires quadratiques d'une série cubique i'. on pourra supposer que la série F qui correspond à (y) est précisément la polaire quadratique de (y) par rapport à (g) : alors les séries j et k coïncident, et g remplace /. On peut ainsi énoncer, d'une façon plus caractéristique, les propositions que nous allons rencontrer, et les rattacher à la théorie d'une série cubique simplement. Mais nous ne ferons pas cette transposition facile, laissant aux théorèmes toute leur généralité.