CHAPITRE XIV. — LA SÉRIK QUARTIQL'E
quadratique F; si (y) appartient à k, celte série F se décompose en deux éléments dont le lieu est y, l'élément singulier de F appartenant alors à /'.
A un élément (y,) de Y correspond un groupe de quatre éléments (.r) associés déterminant un faisceau de séries F; les séries singulières de ce faisceau, déterminées par ces quatre éléments d'une façon évidente, correspondent aux éléments communs à (ç) et k. Ce faisceau est composé de séries tangentes si (ç) touche k. En un mot, toutes les propriétés des réseaux s'appliquent sans qu'il soit nécessaire de les répéter.
Considérons maintenant une série quadratique q d'équation
q = «nJK? -+- aï%y\ -h a33jK|+ 2 a23 JK2JK3 -+- *a3ly3yi-+- 2«i2jKij2 = o,
de l'espace Y. Les séries F qui correspondent aux différents éléments (y) de q ont une enveloppe dont l'équation est évidemment
/= *ll/î "i- «22/1 -+" «33/3-+- 2*23/2/3+ 2 «31/3/1 + ^ «12/1/2= O,
les &ij étant les coefficients de la forme tangentielle 7 de q. La série f est une série quartique, que nous allons étudier comme engendrée de cette façon. Jl est clair, d'ailleurs, que cette forme convient à toute série quartique, les coefficients atj et le réseau F étant convenablement choisis.
Si la série q est décomposable, la série /est la série quadratique qui correspond à l'élément singulier de q, comptée deux fois.
La série f est aussi le lieu des éléments associés qui correspondent nus différents éléments tangents à la série q : des éléments associés forment d'ailleurs un groupe d'éléments de contact avec/* pour une série F quadruplement tangente à/.
On voit par là que si l'on établit entre les éléments (x) la correspondance qui fait correspondre à un tel élément l'un de ses associés en vertu du réseau F, la série /' se transformera ellemême, les séries quadratiques du réseau F qui lui sont quadruplement tangentes ne changeant pas.
Si l'on prend q sous la forme simple
q=y\— 4/o'si
on aura
On peut d'ailleurs, dans ce cas, poser
et /est l'enveloppe des séries
Xf/a-t-aX.Xî/, -Xl/3=o;
on voit donc que l'on peut encore faire correspondre l'étude de la série / à celle de la forint' doublement quadratique à variables binaires et ternaires.
Si l'on prend q sou> la forme
de sorte que les séries 1". qui correspondent aux éléments fondamentaux de Y, -oient quadruplement tangentes à /', on aura
./■ -aU/l ait/1 a\tf\
"';l"u. l'if:; " "' L3 "i l/s. I'\ ■> " (3 " ; 1 f\ fi'-
cette forme particulière nous sera utile plus lard.
339. Soient ( y \ un élément de ^ . | v, ) el l y," ) les éléments tangents à q contenant : r : i el i ") leurs éléments de contact.
La série F qui correspond à (y) contient évidemment les deux groupes d'éléments de contact avec /"des séries quadruplement tangentes à f qui correspondent à j et {y ') : ainsi les huit éléments communs à f et à une série F se décomposent en deux groupes d'éléments de contact pour des séries quadruplement tangentes à f\ les éléments de contact de deux séries F' et F" quadruplement tangentes à/ appartiennent à une même série quadra tique F; et si {y . y i, y") correspondent respectivement à F, F', F"3 y) est le pôle de i, )',»'") par rapport à y; la série F peut donc être dite pôle par rapport à/du faisceau (F', I
Si les équations de F' et F" sont
Xf/j-l- ■l'/,;l,fi — l-,f3=0, |JLÎ/2-+-2fX,H2/, -f- nl/3=0,
celle de F sera
Xj fxt/a r I Xi [AS - X2 fi, i/j -h X, ;i2t/;, = o.
Les séries q et /,• admettent en général douze éléments tangents communs; aux éléments de contact avec q de ces douze éléments
