CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES. 3<J

fonction des (à) et des éléments primitifs dont dépendent les <I>, des relations linéaires entre les F et les F', résolubles nécessairement par rapport aux F ou aux F', d'après les hypothèses faites; on raisonnerait de même pour les <£.

Si un invariant est mis sous la forme SF/,<I>/f, les F et les <ï> formant deux systèmes invariants d'espèce opposée, et si l'on ) remplace les F* par les fonctions G* d'un système invariant de même espèce, on obtiendra un nouvel invariant; et réciproquement, si deux invariants sont mis sous la forme SF^O*, SGa^a, les (F), les (G) et les (<ï>) formant des systèmes invariants, le système invariant (G) sera de même espèce que le système (F) cl d'espèce opposée à (<ï>).

Il est évident encore qu'un combinant des formes d'un système invariant est un invariant.

La théorie des variables d'ordre n permettrait d'énoncer beaucoup d'autres propositions analogues à celles qui précèdent.

42. Les produits x'^x1]?, où A, et h2 sont deux entiers non négatifs de somme h, forment un système invariant particulièrement important que nous appellerons (t).

Puisque (£,3?, -+- ç2 X2)h est un invariant, les quantités p p Ê*'^3

forment elles-mêmes un système invariant (t), d'espèce opposée à (t).

(£i''i2— ÇoTj , )h est aussi un invariant; donc les quantités

l l) "Cl ^2

forment un système invariant de même espèce que [t). Ceci montre, en particulier, que deux formes équivalentes sont invariantes l'une par rapport à l'autre, ce qui était d'ailleurs évident, d'après leur définition.

Si F est un invariant fonction des (x), la puissance hilme de sa

, , / àF 0V\h

première polaire, soit, à un facteur près, (y, — +J2 ^— j ' est

PA / àF V'i / dF\/l* f

un invariant; donc les produits p p \dzT/ \dx~ ) torment un

système invariant de même espèce que (t).

De même, la polaire d'ordre h de F, soit, à un facteur près,

/ àV r)F \ ;' . , • , i ■

lyi \~ y2 - — , ou la puissance est symbolique, est un inva-

riant: donc les quantités tt— ^ ; forment encore un système

' ' P/«,P*S dxfydx^

invariant de même espèce que (t).

Si <ï> était un invariant fonction des (;), on verrait de même

que les quantités / -^- 1 \W ) " une 1>;"'' '-/,, ■-/, " aulre Part>

forment des systèmes invariants de même espèce que (t).

Les coefficients aAA. (rime forme cp = aç* forment un système invariant de même espèce que (t). Si donc F esl un invariant qui

dépend des (a), les dérivées formeront un système invariant

de même espèce que (t).

On peut multiplier facilement ers applications : il esl inutile d'\ insister davantage. On remarque] .1 seulement l'extension un médiate de ce qui précède au cas <>n l'on considère plusieurs systèmes de variables.