CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUART1QUE. 36r

groupe du Tableau ne fournit alors aucun système de séries quadratiques quadruplement tangentes à /'; les trente groupes suivants fournissent trente système.s de séries quadratiques quadruplement tangentes à /', chacun d'eux contenant un couple double formé avec des éléments bitangents singuliers différents, et quatre couples d'éléments bitangents proprement dits; enfin, les trentedeux derniers groupes se réduisent à seize, et chacun de leurs couples est composé d'un élément bitangent singulier et d'un élément bitangent proprement dit; ils correspondent à seize systèmes de séries quadratiques contenant l'élément double de f ei triplement tangentes à f.

Aux trente systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à / correspondent des réseaux qui sont, comme dans le cas précédent, des espèces («), (6), (c) ou (<7). Mais la série quadratique q qui correspond à f est ici tangente à la série k : deux des éléments communs à A et à q sont confondus, et pas davantage; si d'ailleurs k possède un élément singulier, la série q ne peut contenir cet élément. Si q touche k en un élément inflexionnel, l'un des éléments inllexionnels de f coïncide avec l'élément double; si q touche une série linéaire appartenant à k, dans les cas (c) ou (d), deux des éléments inllexionnels de /coïncident avec l'élément double. Les autres particularités du cas général continuent à s'appliquer.

Aux seize systèmes de séries triplement tangentes à / correspondent des réseaux qui ont un élément simplement singulier, c'est-à-dire des espèces (e) ou (h).

Les éléments communs aux séries A' et q sont tous distincts; les observations déjà faites se transportent aisémeut à ce cas; de plus, on voit que si un élément langent à q en (y) commun à /, et q contient l'élément double de /.-, un élément inflexionnel de/ coïncide avec l'élément double.

345. Si la série quartique / a un élément cuspidal, nous la désignerons par (G); elle est de la neuvième classe et possède seize éléments inllexionnels. Elle admet six éléments bitangents singuliers, c'est-à-dire contenant l'élément cuspidal, et chacun d'eux compte trois fois; il reste dix éléments bitangents proprement dits.

On peut appliquer le Tableau général en supposant que a, a' el 7| coïncident avec un élément bitangent singulier, et qu'il en est de même de [i, 3' et y,': y. *;' el y.: o. o' el v'; ;, s' el >'; Ç, £' et -'. Par suite, on obtient d'abord quinze systèmes de séries quadruplement tangentes à /*, comptant chacun deux fois; chacun de ces systèmes contienl un couple triple d'éléments bitangenls singuliers et trois couples d'éléments bitangenls proprement dits; le réseau correspondant est des espèces (a), (b) ou (c), mais trois des éléments communs aux séries k el </ s-onl confondus, et pas davantage ; cjr ne peut d'ailleurs contenir aucun élément double de k.

( )n obtient ensuite quinze systèmes de séries triplement tan- LMMiir- ;'i /' ci contenanl l'élément cuspidal, comptant chacun deux fois. Chacun de ces systèmes contienl un couple double, formé de deux éléments bitangents singuliers, el quatre couples, formés par les quatre autres éléments bitangents singuliers associés ;'i quatre éléments bitangents ordinaires. Le réseau correspondant à un de ees systèmes esl de l'espèce la série </ contient L'élément

double de /. : ses quatre autres éléments communs avec k sont distincts.

Enfin, trois système-* . 1 1 - j », naissent.

346. Désignons par i I > | une série quartique /"à deux éléments doubles ordinaires; elle esl de la huitième classe el possède douze éléments inûexionnels. Elle admel deux systèmes de quatre éléments bitangents singuliers, c'est-à-dire contenant un élément double el chacun d'eux compte deux fois; elle admel aussi comme élément bitangent doublement singulier, comptant quatre loi-, I élément de seconde espèce commun aux deux éléments doubles ; il reste huit éléments bitangents proprement < 1 i i - .

Pour appliquer le Tableau général, on supposera que ot, a', [j, y coïncident avec l'élément bitangenl doublement singulier; que '/) et y . h cl h '. x cl x', à et // coïncident respectivement avec les éléments bitangents singuliers de l'un des systèmes, et qu'il en est de même de u ci •;.'. v et v', ; ci ;'. - ci -' pour l'an ire système.

< )n obtient alors, outre deux -\Mcnns qui disparaissent :

i Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à y, contenant un couple double formé de l'élément bitangent doublement singulier, et quatre couples d'éléments bitangenls