CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQDE. 3fi

proprement dits; le réseau correspondant est de l'espèce (6), (c) ou (d)\ la série q contient un élément double de A-, les quatre autres éléments communs à k et à q étant distincts;

2° Douze systèmes de séries quadratiques quadruplemenl tangentes à /, contenant chacun deux couples doubles formés d'éléments bitangents singuliers, et deux couples formés d'éléments bitangents proprement dits; le réseau correspondant est de l'espèce (a), (b), (c) ou (cl); la série q touche k en deux éléments distincts et les deux autres éléments communs à k et à q sont distincts; q ne contient aucun élément double de k;

3° Seize systèmes de séries quadratiques triplement tangentes à /; celles de huit d'entre eux contiennent un des éléments doubles de /et celles des huit autres contiennent l'autre élément double; chacun de ces systèmes compte deux fois; chacun d'eux contient un couple double formé par l'élément bitangent doublement singulier et un élément bitangent singulier, et quatre autres couples formés par quatre éléments bitangents singuliers associés avec quatre éléments bitangents proprement dits; le réseau correspondant est de l'espèce (e) ou (h); la série q est tangente à /. et ne contient pas d'ailleurs l'élément double de k ; les quatre autres éléments communs à k et à q sont distincts;

4° Quatre systèmes de séries quadratiques doublement tangentes à y et contenant lès deux éléments doubles de/; chacun d'eux compte quatre fois, contient quatre couples d'éléments bitangents singuliers et deux couples formés chacun de l'élément hitangent doublement singulier et d'un élément bitangent ordinaire; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y); les six éléments communs aux séries q et k sont distincts; comme k se décompose, ces six éléments communs se partagent en deux groupes, l'un de deux, l'autre de quatre éléments; les couples d'éléments bitangents correspondants sont indiqués par ce qui précède.

347. Envisageons une série quartique (E) possédant un élément double ordinaire et un élément cuspidal; elle est de la septième classe et possède dix éléments inflexionnels. Elle admet un élément bitangent doublement singulier comptant six fois, quatre éléments bitangents singuliers comptant trois fois, trois éléments

bitangents singuliers comptant deux fois et quatre éléments bitangents proprement dits.

On appliquera le Tableau général avec les hypothèses précédentes et supposant, en outre, que 7) coïncide avec a, y' avec u. o avec v, z' avec ç, Z' avec -. Donc a désigne l'élément bilangent doublement singulier; 0. /., a sont les éléments lulangents singu liers doubles; u, v, :. - les éléments bitangents singuliers triples; y, o, s, v les éléments bitangents proprement dits.

Alors, outre quatre systèmes qui disparaissent, on obtient :

i" Six systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à J '; les couples d éléments bitangents contenus dans un système sont, par exemple, jav trois fois, v.'/. deux fois ri yo; le réseau correspondant est (!<• l'espèce (a), (b) ou (c); les éléments communs aux séries </ et /. forment trois groupes distincts de un, deux el trois éléments : y ne contient aucun élément double de /■ :

:>." [ u système, comptant trois lois, de séries quadratiques triplement tangentes à / el contenant l'élément cuspidal de/; les couples de ce système sont av. deux luis, vu,, 8v, :;, Z~\ le réseau correspondant est de l'espèce (h); la série q contient l'élément double de /. : les quatre autres éléments communs à /. et à y sont distincts;

3° Six systèmes, chacun comptant trois fois, de séries quadratiques analogues aux précédentes; mais les couples d'un de ces systèmes sont, par exemple, y.') deux luis. \- deux luis, w et Six; le réseau correspondant est de l'espèce (<?); la série" q contient l'élément double de /, et est tangente à /, ; les deux autres éléments communs à (j et /, sont distincts;

i" Ouatre systèmes, chacun comptant deux fois, de séries quadratiques triplement tangentes à /'et contenant l'élément double de/'; les couples d'un de ces systèmes sont, par exemple, au trois fois, oO. ex, Z/. : le réseau correspondant est de l'espèce (e)ou (h); la série q ne contient pas l'élément double de k et a trois éléments communs confondus avec /.; les autres éléments communs à q et k sont distinct- :

5° Quatre systèmes, comptant chacun six fois, de séries quadratiques doublement tangentes à/et contenant les deux éléments doubles de/; les couples d'un de ces systèmes sont, par exemple, au. deux fois. ay. Bv, x;, )-; le réseau correspondant est de