CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 3j(j
Alors la série /' a un élément double ordinaire autre que O,; elle est de la sixième classe, admet six inflexions et deux éléments bitangents proprement dits; il existe deux couples d'éléments bitangents singuliers comptant les uns quatre fois, les autres deux fois; un élément bi tangent singulier spécial comptant six fois, et un élément bitangent doublement singulier comptant huit fois.
G'. L'équation 0 = o n'a pas de racine nulle et admet une racine triple.
La série y admet un élément cuspidal autre que 0| ; elle est de cinquième classe et n'a que quatre inflexions; il n'y a aucun élément bitangent proprement dit, mais seulement un tel élément, singulier, comptant quatre fois; deux singuliers, comptant trois fois; un singulier spécial comptant six fois; et un doublement singulier comptant douze fois.
D'. L'équation 6 = 0 a une racine nulle, et les autres sont distinctes.
La série / n'a pas d'autre élément singulier que 0|, est de la septième classe et admet neuf inflexions, ainsi que trois éléments bitangents proprement dits ; les trois cléments tangents à/contenant O, sont éléments bitangents singuliers comptant cinq fois; l'élément tangent à /en O, est bitangent singulier spécial, comptant dix fois.
E'. L'équation @ = o a une racine nulle et une racine double.
La série / a un élément double ordinaire autre que O, ; elle est de la cinquième classe, admet trois inflexions et un seul élément bitangent proprement dit; elle admet aussi deux éléments bitangents singuliers comptant l'un deux fois, l'autre cinq fois, un élément bitangent doublement singulier et un autre singulier spécial, comptant chacun dix fois.
F'. L'équation 0 = o a une racine nulle et une racine triple.
La série/ a un élément cuspidal autre que O, ; elle est de la quatrième classe, admet une seule inflexion et ne possède aucun élément tangent proprement dit, mais un tel élément singulier comptant trois fois, un autre doublement singulier comptant quinze fois, et un singulier spécial, comptant dix fois.
G'. L'équation 0 =0 a deux racines nulles.
La série /n'a d'autre élément singulier que O, ; elle est de la
38o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
sixième classe et admet six inflexions; elle possède un seul élément bi tangent proprement dit, deux éléments bitangents singuliers comptant six fois, et un élément bitangent singulier spécial, comptant quinze fois.
H'. L'équation 0 = oa trois racines nulles.
La série f n'a d'autre élément singulier que O,; elle est de cinquième classe et admet trois indexions; elle ne possède aucun élément bitangenl proprement dit, mais un tel élément singulier comptant sept fois, et un autre singulier spécial, comptant vingt et une fois.
300. On peut maintenant supposer à / un élément triple et ceci donne lieu aux trois espèces suivantes :
I'. Les éléments tangents en l'élément triple O, sont distincts.
Alors la série /'est de la sixième classe et admet six éléments inflexionnels et quatre éléments bi tangents proprement dits, avec trois éléments bitangents singuliers comptant chacun huit fois.
J'. Deux des éléments tangents en 0| sont confondus.
La sérieyesl de cinquième classe, admet quatre inflexions et deux éléments bitangents proprement dits; des deux éléments bitangents singuliers, l'un compte seize fois, l'autre dix fois.
K'. Les éléments tangents en 0( sont tous confondus.
La série /"est de quatrième classe, admet deux inflexions et un élément bitangenl proprement dit ; l'élément tangent en 0( est un élément bitangent singulier comptant vingt-sept lois.
361. Indiquons maintenant comment les séries quartiques précédentes peuvent être considérées comme des enveloppes de séries quadratiques.
A'. On peut passer du cas général (D) à celui-ci en faisant coïncider a avec y et y\ t\ avec p., 0 avec v, x avec £, X avec -. On obtient, outre six systèmes qui disparaissent :
i° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à/, dont les couples sont aa trois fois, 88', ee', ÇÇ ; le réseau correspondant e>i d'espèce (b), (c) ou (cl); la série cj contient un élément double de À- et touebe /,• en cet élément ;
2° Six s\ Mêmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à/; les couples de l'un d'eux sont r/j quatre fois; eÇ', e'Ç; le réseau
