CHAPITRE XIV. — LA SERIE QUARTIQUE. 38l

correspondant est de L'espèce ((/), (b), ou (c), la série q ayant quatre éléments communs confondus avec /. ;

3" Huit systèmes, comptant quatre fois, de séries quadratiques triplement tangentes à f et contenant l'élément singulier; les couples de l'un d'eux sont a?] trois fois, oO, sx, ^a; le réseau correspondant est de l'espèce (e), la série q contenant l'élément double de k et touchant k en cet élément;

4 ' Trois systèmes, comptant six fois, de séries quadratiques doublement tangentes à /et contenant l'élément double de/, avec élément tangent commun 5 les couples de l'un d'eux sont y/J deux fois, xA deux fois, ao, ao'; le réseau correspondant, est de l'espèce (/) ou (k), la série q étant quelconque.

B'. On peut passer du cas général (G) à celui-ci en faisant coïncider Y et 7), £ et x, "C et A, a avec ;j. et u.'.

On trouve, avec sept systèmes qui disparaissent :

i° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à/, dont les couples sont zC, quatre fois, £tt deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (a), (b) ou (c); la série q a ses éléments communs avec À" répartis en deux groupes de deux et quatre éléments; dans le cas (ci), on évitera les séries q qui donneraient lieu à l'ensemble d'une série cubique et d'une série linéaire ;

2" Un système analogue au précédent, dont les couples sont aa trois fois, £tï deux fois, vv'; le réseau correspondant est de l'espèce (b), (c) ou (cl); la série cj contient un élément double de k, y touche k et touche encore k en un autre élément;

3° Deux systèmes comptant .deux fois de séries triplement tangentes à/, et contenant l'élément double ordinaire de/; les couples de l'un sont Y£ quatre fois, çv, tt/; le réseau correspondant est de l'espèce (<?) ou (//), la série q ayant quatre éléments communs confondus avec /. ;

4° Quatre systèmes comptant quatre fois de séries triplement tangentes à /, et contenant l'élément singulier spécial de /; les couples de l'un d'eux sont as trois fois, ytc deux fois, Çv; le réseau correspondant est de l'espèce (e); la série q contient l'élément singulier de k, y touche k et touche encore une fois /, ;

5° Un système, comptant six fois, de séries doublement tangentes à/, dont les couples sont yy deux fois, zt deux fois, <xv, av';

j8-J LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

de sorle que ces séries contiennent, avec élément tangent commun, l'élément singulier spécial de /'; le réseau correspondant est de l'espèce (7) ou (k); la série q contient l'un des éléments auxquels correspond une série linéaire double, et cet élément est commun deux fois seulement à </ et k ;

6° Deux systèmes, comptant huit fois, de séries doublement tangentes à /, et contenant les deux éléments singuliers; les couples de l'un deux sont ay trois lois, t'z. Z~. yv ; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contienl un élément double de /.-, et y touche la >.;iir quadratique qui fait paille de /. :

7" Un système comptant douze fois, de séries tangentes à/, contenant les éléments singuliers de/, et ayant même élément tangenl en l'élément singulier spécial : le réseau correspondant est de l'espèce (/), la série q étant quelconque; les couples du système sont y: deux fois, y» deux fois, /;. xiz.

('.'. On passe du cas général (H) à celui-ci en faisant coïncider a avec [j. et ;/, y avec /,. : avec x.

Outre neuf systèmes qui disparaissent . on trouve :

1" L n système de séries quadratiques quadruplemeni tangentes à/, dont les couple- sonl y. y. hoi- fois, ;- trois lois; le réseau correspondanl esl de l'espèce (b) ou (c); la série q touche k en un élément double de h : les trois autres éléments communs à k el q sont confondus :

2° Un s\ stème, comptant trois fois, dé -('ries triplement tangentes à/, el contenant l'élément cuspidal ; les couples s,. ut ve quatre fois, :- deux loi-; le réseau correspondanl esl de l'espèce (e); la série q contient l'élément double de k, el le- quatre autres éléments communs à q et k sont confondu- :

3" Deux systèmes comptant quatre fois de séries triplement tangentes à/, et contenant l'élément singulier spécial de/; les couples de l'un d'eux sont y.i cl y:, chacun trois fois: le réseau correspondant est de l'espèce (e); la série q contient l'élément double de k et y est tangente à /. ; les trois autres éléments communs à q et k sont confondus;

4° Deux systèmes, comptant douze fois, de séries doublement tangentes à/, et contenant les éléments singuliers de /; les couples de l'un deux sont ay trois fois, y; deux l'ois. etc; le réseau corres-