CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE

pondant est de l'espèce (/); la série q touche k en un élément double et contient l'autre élément double;

5° Un système, comptant dix-huit fois, de séries tangentes à/et contenant les éléments doubles de /, avec même élément tangent et l'élément singulier spécial ; les couples sont yy deux fois, ye deux fois, ocç, ait; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient l'élément de k auquel correspond une série linéaire double.

D'. On passe du cas général (E) à celui-ci en faisant coïncider 0 et v, x et \, X et -, a avec y et ;;.. Outre dix systèmes qui disparaissent, on obtient :

i° Trois systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à/; les couples de l'un d'eux sont 6x cinq fois et os; le réseau correspondant est de l'espèce (a) ou (b), cinq des éléments communs aux séries q et k étant confondus;

2° Un système comptant cinq fois de séries triplement tangentes à/ et contenant l'élément singulier; ses couples sont aa trois fois, oQ, sx, ÇX; le réseau correspondant est de l'espèce (h); la série q contient l'élément double de k et y est tangente à À ;

3° Trois systèmes, comptant cinq fois, et analogues aux précédents; les couples de l'un d'eux sont a9 quatre fois, eX, Çx; le réseau correspondant est de l'espèce (e); la série q contient l'élément double de k, et quatre éléments communs à q et k y sont confondus;

4° Trois systèmes, comptant dix fois, de séries doublement tangentes k f et contenant l'élément singulier, avec même élément tangent; les couples de l'un d'eux sont aQ trois fois, xX deux fois, ao; le réseau correspondant est de l'espèce (7), la série q contenant l'élément triple de k.

E'. On passe du cas général (H) à celui-ci en faisant coïncider a avec y, r, avec £ et p/, x avec it.

Outre onze systèmes qui disparaissent, on a :

i° Un système, comptant deux fois, de séries triplement tangentes à /, et contenant l'élément double de /; ses couples sont ax cinq fois, z\x; le réseau correspondant est de l'espèce (<?) ou (h), la série q ayant cinq éléments communs avec A" confondus;

2° Un système, comptant cinq fois, de séries triplement tangentes à /, et contenant l'élément singulier spécial de /; ses

couples sont y.t deux fois et y,x quatre fois; le réseau correspondant est de l'espèce (e); la série q est tangente cà k, et ses quatre autres éléments communs avec À" sont confondus avec l'élément

double de /. :

3" Ln système, comptant cinq fois, analogue au précédent, et de couples rj, trois fois, as deux fois, x;j. : le réseau correspondant est d'espèce (h); la série q louche k en son élément singulier et en un autre élément;

4° l d système, comptant dix fois, de séries doublement tangentes à f. et contenant les deux éléments doubles de /; ses couples sont ar, quatre lois, ex, a;j. : Le réseau correspondant est de l'espèce (/), la série q étant osculatrice à la série quadratique qui ligure dans k en un élément double de /, :

5° Un système, comptant dix fois, de séries doublement tangentes à/, et contenant, avec même élément tangent, l'élément singulier spécial de/; les couples du système sont ata deux fois, y,-/, trois fois, Y)u.; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient l'élémenl triple de k, el l'un des éléments de k auxquels correspond une série linéaire double;

l h système, comptant vingl lois, de séries tangente- à /'. et contenant les deux éléments doubles de/, avec même élément tangent en l'élémenl singulier spécial; les couple- sonl wr\ trois loi-, xx deux fois, etj; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient l'élément triple de k.

F'. Le cas général | I) conduit à ce cas, en faisant coïncider a avec >. el w., y avec i\. Outre treize systèmes qui disparaissent on a :

i Un système, comptant cinq fois, de séries quadratiques triplement tangente- à/ et contenant l'élément singulier spécial; les couples sont aa trois fois, y; trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/*); la série q touche k en élément singulier, et les trois autres éléments communs à q et k sont confondus;

2" l n système, comptant quinze fois, de séries doublement tangentes à / et contenant les deux éléments doubles; les couples sonl ocy quatre fois, y: deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient les deux éléments doubles de k, et est osculatrice en l'un d'eux, à la série quadratique qui figure dans k ;

3° Un système, comptant trente fois, de séries tangentes à/, et