CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE

contenant les deux éléments doubles de /, avec même élément tangent en l'élément singulier spécial; les couples sont yy deux fois, ay trois fois, a£; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient l'élément triple de k et l'élément de k auquel correspond une série linéaire double.

G'. Ce cas résulte soit du cas général (F) en faisant coïncider a avec 9 et v, x avec tî, A avec ^ soit du cas général (G) en faisant coïncider a avec t\, y, p., p.' et v, t avec x et ç, Ç avec X et tt; dans le premier cas, l'élément tangent double proprement dit est y, dans le second y' .

Outre quinze systèmes disparaissant, il existe :

i° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à y, dont les couples sont x), six fois; le réseau correspondant est de l'espèce (a) ou (6), les six éléments tangents communs à q et k coïncidant; on exclura d'ailleurs dans le cas (a) les séries q auxquelles correspondraient une série cubique et une série linéaire;

2° Deux systèmes, comptant six fois, de séries triplement tangentes à y et contenant l'élément singulier; les couples sont, par exemple, ax cinq fois, yX; le réseau correspondant est de l'espèce (<?); la série q a cinq éléments communs avec k confondus avec l'élément double de k;

3° Un système, comptant quinze fois, de séries doublement tangentes à/, et contenant l'élément singulier dey, avec même élément tangent; les couples sont aa trois fois, x), deux fois, ay; le réseau correspondant est de l'espèce (k); la série q contient l'élément triple de /. ;

4° Un système, comptant vingt fois, de séries tangentes à y et osculatrices en l'élément singulier dey; les couples sont ax et a),, chacun trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/»), la série q étant quelconque.

H'. Ce cas résulte du cas (H) en faisant coïncider a avec y, r,, £, pi et pi', s avec x et r:. Vingt et un systèmes disparaissent, et il reste :

i° Un système, comptant sept fois, de séries quadratiques triplement tangentes à y et contenant l'élément singulier, dont les couples sont as six fois ; le réseau correspondant est de l'espèce (e), et la série q a ses six éléments communs avec k confondus avec l'élément double de k]

An. — I. 25

2° Un système, comptant trente-cinq fois, de séries quadratiques tangentes à / et osculatrices en l'élément singulier; les couples sont xx et xî, chacun trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/«), la série q contenant l'élément de k auquel correspond une série linéaire double.

F. Ce cas résulte du cas (G) en faisant coïncider x avec £ et -, y avec x et X, 7) avec £ et x. Outre douze systèmes qui disparaissent, on trouve :

i° Trois systèmes de séries quadruplemont tangentes à f; les couples de l'un d'eux sont aa quatre fois, au.', vv'; le réseau correspondant est de l'espèce (b) ou (c): la série q a quatre éléments communs avec A' confondus avec un élément double de A •;

2° Six systèmes, comptant huii fois, de séries doublement tangentes i\f, et contenant l'élément triple de/avec un même élément tangent; les couples de l'un d'eus sont xy quatre fois, t,;j., ïjv; le réseau correspondant est de l'espèce (i) ou (A"), la série q touchant la série linéaire qui appartient deux fois à k.

i'. On arrive à ce cas en partant du cas (11) et faisant coïncider y. avec - el ç, y avec 7i, ; et /..

Outre vingt systèmes qui disparaissent, on trouve :

i° Un >\>ième de séries quadratiques quadruplement tangentes à y, dont les couples sont xx ci m| fois et ;j-;j-'; le réseau correspondant esl de l'espèce (b) ou (c), cinq des éléments communs à q et k étant confondus avec un élément double de A;

2° Un système, coin plant dix fois, de séries doublement tangentes à /*, et contenant l'élément triple avec même élément tangent; les couples sont YY quatre fois, au,, au'; le réseau correspondant est de l'espèce (i) ou (A), la série q étant tangente à la série linéaire qui figure deux fois dans A-, en un élément auquel correspond une série linéaire double; les deux autres éléments communs à q et k sont distincts;

3 ' Deux systèmes, comptant seize fois, de séries analogues aux précédentes; les couples de l'un sont xy cinq fois et yu.; le réseau correspondant est de l'espèce (i) ; la série q touche la série linéaire qui figure deux fois dans k en l'élément triple de A.

K.'. Ce cas résulte du cas général (J) en faisant coïncider x. y. et */■;. Trente-six systèmes disparaissent, et il reste un système, comptant vingt-sept fois, de séries quadratiques doublement tan-