IV. — Théorèmes généraux sur les séries quartiques

362. L'étude cjui précède, et qui est nécessaire pour donner une idée nette des séries quartiques, conduit par elle-même à de nombreuses propositions. Nous allons en énoncer quelques-unes comme exemples.

Considérons une série de l'espèce (D); en général, il lui correspond quatre réseaux de l'espèce (/), dont la jacobienne est composée d'une série quadratique et d'une série linéaire ; en considérant les couples d'éléments bitangents appartenant à ces réseaux, on voit que l'on peut dire : les seize éléments, déterminés par les deux systèmes de quatre éléments tangents à la série /et contenant un des éléments doubles de/, appartiennent quatre par quatre à quatre séries quadratiques contenant les deux éléments doubles de /; ces deux systèmes de quatre éléments déterminent donc le même rapport anharmonique.

Si à une série /correspond un réseau de l'espèce (c), la correspondance entre éléments associés, qui transforme /en elle-même, comprend en particulier une homologie involulive; si le réseau est de l'espèce (d), cette correspondance se décompose en trois homologies involutives.

Si le réseau est de l'espèce (/), la correspondance précédente est une inversion ordinaire; s'il est de l'espèce (/), la correspondance est une inversion telle que la série quadratique qui sert à la définir se décompose; si enfin le réseau est de l'espèce (/) ou (À), la correspondance se réduit à une homologie involutive, cas particulier de l'inversion, si l'on veut. Nous aurons l'occasion de revenir plus tard sur ces inversions qui conservent la série /dans certains cas.

363. Si la série quartique est de l'espèce (L), c'est-à-dire composée de deux séries quadratiques g et A, on voit qu'il existe trois

systèmes de séries quadratiques bitangentes à g et h; chacun de ces systèmes contient les éléments tangents communs à g et À, répartis en deux couples; si (r,) et (Ç), (6) et (x) sont ces deux couples, les éléments (-/,£) et (Qx) déterminent un élément (!•) avant même pôle (x) par rapport à g el // ; les éléments (a) et ((3) de la série du faisceau (^, /*) qui a (x) comme élément double, comptés deux fois, forment aussi deux couples du système considère L'application des théorèmes généraux nous fait retrouver cette proposition connue : les élément de contact de (r(), (Ç), (9), (x) avec g et h appartiennent à une même série quadratique. On voit encore que si une série du système considéré plus haut louche g en (y) et (3), h en (t) el (a), les éléments (yz) et (tu) contiennent (x) et sont conjugués harmoniques par rapporl à (a) et (3 : les éléments déterminés par (yi) et (zu), (yu) et (;/) appartienne ni à i ; : les éléments (yt), (-«)« (jK")> (*0 touchent une série quadratique; si nue série quadratique contenant (y), (:•), 1 1 . (//) a encore avec g cl h en commun | r' I, 1 s') et (*'), («'), ces quatre éléments délerminenl une seconde série quadratique doublement tangente à (g) el(h)', elc.

Ces diverses propriétés se retrouvent sans peine de la façon suivante. Si F = o esl l'équation d'une série quadratique doublcin ri il tangente aux séries g = o et h = o, on a

<?•' et h' étant des fonctions linéaires; donc

\th= Iïn- — g'*;

de là résulte que X( g ■+■ X2 h = o est une série décomposable du faisceau (g", h), ce qui détermine )., el X2. Si Ton a par ce calcul

'/,;-— À,/i = pq, p el g étant deux fonctions linéaires, on en déduit

= — |xfX2/i -f-((is/J - y;7)2, les (u.) étanl des paramètres liés par la relation