CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 38q

On pourra employer les formes canoniques de g et //, s'il est nécessaire de développer ces résultats.

364. Voici maintenant énumérés quelques moyens d'engendrer des séries quartiques, et se rapportant aux études déjà faites.

Si l'on Tait correspondre homographiquement les séries de deux faisceaux de séries quadratiques, le lieu de leurs éléments communs est une série quartique générale. On rapprochera de ceci le théorème suivant facile à démontrer en employant les mêmes considérations qu'à propos des séries cubiques : Si une série quadratrique, contenant quatre éléments fixes d'une série quartique y, a en commun avec y quatre autres éléments variables, toute série quadratique contenant ces quatre éléments variables et un élément fixe de /", aura encore avec/* trois autres éléments fixes.

Si l'on fait correspondre homographiquement les séries d'un faisceau de séries cubiques et celles d'un faisceau de séries linéaires, le lieu de leurs éléments communs est une série quartique générale. On a le théorème correspondant : Si une série cubique variable contient neuf éléments fixes d'une série quartique y, et a en commun avec y trois autres éléments variables, ces trois éléments appartiennent à une même série linéaire qui a en commun a\ec f un quatrième élément fixe.

On engendrera de même une série quartique à élément triple en faisant correspondre homographiquement les séries d'un faisceau de séries linéaires, et les éléments d'une série cubique rationnelle de seconde espèce; la série équivalente à la série cubique est cinq fois tangente à la série quartique. En faisant correspondre homographiquement les éléments (ç) d'un faisceau et les séries quadratiques d'un même système quaclruplement tangentes à une série quartique, on engendrera encore une série quartique à un élément double; les deux séries quartiques sont huit lois tangentes. En faisant correspondre homographiquement les séries d'un faisceau de séries quadratiques, et les éléments tangents d'une série quadratique, on définit une série du cinquième degré en général, à quatre éléments doubles; elle se compose d'une série quartique à deux éléments doubles et d'une série linéaire, si l'une des séries déterminées par deux éléments communs aux séries quadratiques du faisceau se correspond à elle-même dans la cor-

respondance indiquée; la série quadratique fixe est, en général, cinq fois tangente à la série quin tique; dans le cas particulier, elle sera quadruplement tangente à la série quartique.

On pourra maintenant supposer que des éléments de différente nature sont mis en correspondance non plus à l'aide d'une forme bilinéaire, égalée à zéro, mais, par exemple, à l'aide d'une forme linéo-quadratique ou doublement quadratique; dans ce dernier cas, en employant deux faisceaux de séries linéaires, on engendre une série quadratique à deux éléments doubles; les propriétés connues de la forme doublement quadratique nous font retrouver immédjalcmenl la proposition relative à L'égalité du rapport anharmonique des deux systèmes d'éléments tangents à la série quartique contenant les éléments doubles. On voit aussi qu'il existera une infinité de suites de in éléments inscrite à la série quartique et telle que les éléments de seconde espèce de celle suite, pris de deux en deux, contiennent les uns un élément double, les autres l'autre, dès qu'il existe une telle suite proprement dite.

Si l'on se donne encore une relation doublement quadratique en (a) et (y.) et que, considérant (a) et (u) comme définissant deux éléments d'une série quadratique, on cherebe le lieu de l'élément commun aux éléments tangents correspondants de cette série quadratique, on trouvera une série quartique à deux éléments doubles, quadruplement tangente à la série quadratique. On voit par là qu'étant donnée une série quadratique quadruplement tangente à une série quartique à deux éléments doubles, les éléments communs à la série quartique et à un élément tangent quelconque de la série quadratique se séparent en deux groupes de deux, algébriquement.

Enfin, le problème résolu au n° 230 donne encore de nouvelles générations d'une série quartique. Si (x) est un des éléments d'une suite triple circonscrite à une série quadratique F et dont les deux autres éléments appartiennent à deux séries g cl h, le lieu de (.r), ou plutôt une partie du lieu de (x) sera :

i° Une série quartique à trois éléments doubles, quadruplement tangente à F, si g est une série linéaire ou une série quadratique doublement tangente à F, et h une série quartique à trois éléments doubles quadruplement tangente à F;

20 Une série quartique pareille à la précédente, si g et h