CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIBE GÉNÉRALE. 3cjg

Si un élément (y) est orienté, on peut regarder l'élément normal (y\) à (y) comme orienté lui-même; en effet, on peut prendre pour les (■/)/) les quantités Fy., et alors on peut écrire

De même, si (r\) est donné, on peut prendre pour les {yi) les quantités <ï>rj., et écrire

Si (y) et (s) sont respectivement normaux à (yj) et (Ç) et sont orientés de façon correspondante, comme nous venons de le dire, on a

2 un ii \j.

(mod air).

372. Considérons deux éléments d'espèce différente (y) et (Ç); si (z) est normal à (Ç), l'élément (ya) est perpendiculaire à (Ç); c'est le seul qui jouisse de cette propriété et qui contienne (y), sidu moins (y) et (Ç) ne sont pas normaux. Les coordonnées de (yz) sont les quantités j2 ^^3 — .r s ^c,, • • • , et l'on a

*(y,). = D[Fr.*P-D(.r|01]; nous orienterons (ya) en donnant une détermination fixe au

radical y/Fy>Q?— D(y | Ç)a.

La distance (j^) est alors facile à calculer; on a

LUÏ5 : — ■ . . f oui . . __ — . .

iun y/FvV*? '2UH Vpy* V *Ç2

La distance yÇ de (7) à (Ç) sera définie par l'égalité

yÇ=Esyz-hinni (mod/i imn), de sorte que, en particulier,

sinK = lrlj)/P.

Si (*) est l'élément commun à (Ç) et (ys), les coordonnées de (t) sont (y | Ç)*^ — ,7, $?, . . ., et par suite, on a

par suite, on peut considérer (t) comme orienté, si l'on se donne l'orientation de ("Ç) et celle de (y:-), en faisant

alors, on a sans peine

)•; ^yt (mod i im- I,

car (t) est tel que

z/ = im - ( mod 4 un - }.

Des considérations analogues définiraient la dislance Çy de (£) à (y)\ (~fi) étant normal à (r), l'orientation de (rfc) serait déterminée par celle de l 'r;), et en effet ces deux éléments sont normaux; (0) étant commun à (y) et (tjÇ), l'orientation de (0) est déterminée, et l'on a

ly = ÇO = Çr, -f- f';j- | mod j i\Lti)\

par suite aussi

' " -+- -^L == TT (mod'2-).

Quand la quantité I . '!» — l)(^|Çj- <si nulle, c'est que, comme on sait, (y) appartient .'i l'un des éléments tangents à F qui nui pour éléments de contact les éléments communs à (Ç) <i F ; dans ce cas, on a

yt i'/' ît (mod 2 im - .

quelles que soient les orientations; (y) et (Z) sont perpendiculaire-. Quand (y) et (Ç) sont normaux, on a

jkÇ im- (mod 4 unit).

Si (y) et (r) sont respectivement normaux à (y,) et (Ç), on a

Z^L = J^i (m0d2TC).

373. Les formules développées dans ce qui précède permettent d'énoncer de nombreuses propositions sous une forme nouvelle en y introduisant les notions de distance.

En voici deux exemples. Si quatre éléments (y), (c), (t), (u)