CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. 4oi

appartiennent à un même élément (£), leur rapport anharmonique

peut s'écrire

( yt)(zu)

en adoptant des notations indiquées plus haut; et par suite,

yt . zu sin-1-: — sin

2 ini 2 un

(yztu) = — ■

yu . zt sin-^ — sin

iim ii m

Si un élément (ç) appartient avec (r{) et (Ç) à un même faisceau, son équation peut s'écrire

~k\(x | y)) -j-l2(x | Ç) = o, et réciproquement; mais cette équation s'écrit aussi

Ai <ïv sin — H — h à2<Pî:2 sin — — = o, ' 2im inn

d'où une proposition facile à énoncer.

37-4. Considérons une suite de n éléments (x), (y): (s), (0? (m), . . ., dont le dernier soit (w) ; son étendue sera

S = xy -\- yz -+- zt -\- tu -+-. . ."-+• wx.

La suite équivalente de seconde espèce (xy), (yz), (zi)i (tu)i • • ou (£), (t,), (Ç), (9), . . . aura de même une étendue

s = ^-+-^ç + çë-f-..:.

Gomme on peut écrire

S = (xy-i-yz -+- zx) ■+■ (xz -+■ z t -t- t x ) h- (.zt -+- £w -+- «#) -H. . .,

on voit qu'on peut ramener le calcul de S à celui de l'étendue d'une suite triple; il en est de même pour S. C'est ce calcul seulement que nous allons développer.

Soit donc une suite triple (x), (y), (z); désignons par (£), (•/]), (ï^) les éléments (yz), (zx), (xy) de la suite équivalente et supposons que l'on ait

(yz)i=h> {zx)i=y\h (xy)i=Z>i- An. — I. .«6

Un calcul direct donne d'abord

S F,r F.rc sfôï, -h Fv- ¥yx /i^ -+- Fzx Fzy v/*^— /*£ /*v */*?

sin-

F^i-yiv

cos

S Fyz Fr:r Fxy - Fr- /^ /*? — Fï;r /*£ V/*P - F^ y/*^ v/*r/

iim

FX,F,^V

On voit que l'étendue S est définie à un multiple près de fii/ynz, quand l'orientation de (£), (t, ), (£) est connue.

Si l'on veut ne faire figurer dans les formules précédentes que les (x), (y), (:•). on remplacera^, par exemple, par F^F.-; — FL.

Supposons maintenant qu'au contraire on ne veuille plus faire li<;urer dans les formules ci-dessus que les (£), (r(), (v); on a successivement

Xi(xyz i - i ï]Ç)i-,

cette dernière notation représentant le déterminant

'I';- *fci ♦« *Ç»1 *n« *»'/;:

*« *ï)î; *p et, par suite, après suppression d'un facteur commun haut et bas,

sin— ~ =--u(ÇW7 y / \7 y /— \7 , , . >

S I»-(ïr,r?

COS — ; — = 1 ; . . -T-; , , T-. . -r •

■J.UU (*ïjÇ-<- V*r1JV*ÎVl',,r;-^ V*çV*ÇV\*Çtl-+- V*ï»V*rjV

On aurait des formules analogues pour déterminer l'étendue 2 de la suite (Ç), (r(), (Ç).

375. Si les éléments fondamentaux n'appartiennent pas à l'absolu, on peut prendre

F = x\ -+- x\ -+- x\ -+- a cos0iar2a-3H-2 cos92ar3a:, -+- 2 cos03aria-2;

si nous supposons m = jj. = — ., pour simplifier, et si nous orientons les éléments fondamentaux en prenant pour O/, Xi = 1 et