CHAPITRE XV. — L\ GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. \o
y/F^ = i , on a d'abord
cos0203 = cosOt, co$03 Oi= cos02, cosOi02 = cos63.
On a aussi
* = sin26i^f -f- sin262y -+- sin263£2-i- 2(cos62cos63— ccse,)!;;,^ -+- '2(cos63cos8i — cos02)?j3£i •+- 2(cos0icos62 — cos03)çi?2 ;
orientons les éléments fondamentaux de seconde espèce en faisant pour û;, ç/= 1 et ^/'Oç!= sinQj-; alors on voit que l'on peut considérer 6,, 92 et 93 comme les distances 0203, OsO, et 0( 02. D'ailleurs, ici
D = 1 -+- 2 cosG1cos62 cos63 — cos26! cos262 — cos263
= 4 sin sin sin sin- •
On a aussi
cos62cos63 — cosGi . — — — 1/D
cosQ2Û3= • n • a -* sini>2t>3
sin 62 sin 63 sinG2sin03'
/T- 1 -+- cosô, -+- cos8.>-{- cos83
sinS = — y D r— -7 g—— -— ,
(n- cos6!)(n- cos92)(i-+- cos63)
(1 -4- cos6i)(i -+- cos62)(i -+- cos63)
Si la série triple formée par les éléments fondamentaux est conjuguée par rapport à l'absolu, les formules précédentes subsistent, avec 8| =02 = §3= -•> et les expressions générales relatives
aux distances se simplifient : les coordonnées sont alors orthogonales.
Remarquons encore, dans le cas général, que l'on a
/D „:„77r kv/D
sina?i2,= 7=' sin£0{- =
d'où une interprétation métrique immédiate du rapport de deux coordonnées d'un élément.
De même, si (os) appartient à Q, de sorte que os, = o, on a
a?3sin6i . — — 272sin6)
sin;r02 = , > sina703 =
et, par suite, une interprétation nouvelle du rapport —
4o4 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
On aurait des formules analogues pour un élément de seconde espèce (ç).
Nous n'insisterons pas sur les conséquences de ces remarques. Nous observerons seulement que, si l'on considère l'espace E comme un point tel que les éléments de première et de seconde espèce soient les droites et les plans qui passent par ce point, la théorie que nous venons de développer coïncide manifestement avec celle des angles dans cet espace, à condition de remplacer le mot distance par angle, et de prendre comme absolu le cône isotrope qui a son sommet au point considéré. Par suite encore, cette théorie correspond à la Géométrie métrique sphérique, et les formules de ce numéro sont celles de la Trigonométrie sphérique.
376. Il serait facile, avec les formules que nous avons indiquées plus haut, de retrouver les propositions connues de la Géométrie sphérique relatives aux triangles, aux transversales, etc. Nous nous contenterons d'indiquer quelques résultais.
Si l'on considère la suite triple fondamentale O, 0203, avec les mêmes notations qu'au numéro précédent, l'élément II, perpendiculaire à û{ et contenant 0( aura pour équation
r2(cos03 cosO| — cos62) — x3( cosÔ! cos62 — cos03) = o;
les trois éléments II,, IT2 et Il3 sont par suite alignés.
L'élément P,, perpendiculaire à Of et contenant Q,, aura de même pour équation
;2 COSÔj — ;3 cos63 = o;
les trois éléments P< sont alignés.
La dislance 0203 a deux, milieux; l'un M,, intérieur, tel que
M] U2— M!03= o (mod2-):
l'autre M',, extérieur, tel que
Mi02+M',03=r (modaz):
ces deux milieux M, et M'( sont évidemment les éléments doubles de l'involution déterminée par 02 et 03 d'une part et les éléments communs à Q, et à l'absolu d'autre part.
