II. — Les mouvements et les invariants métriques
377. La distance de deux éléments quelconques ne change pas quand on fait un changement de coordonnées, ou une transformation homographique quelconque, à la condition que les constantes m et u gardent leurs valeurs, et que, dans le dernier cas, le nouvel absolu soit l'ancien transformé.
Transformons maintenant les éléments de l'espace E par une
4o6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
homographie quelconque ?
Xi = Xi x\ -h fi, x'.2 -h v, :r3 , ar2 = X2a-', -+- (u2:r'2 + v3:r3, «"s = Xs^i -+- IJ.3^2 + vsa7j,
les (.z') étant rapportés aux mêmes coordonnées que les (x), et laissons l'absolu invariable, ainsi que les constantes m et u.
On peut rechercher les homographies <r qui sont telles que la distance de deux éléments quelconques soit égale à la distance des deux éléments correspondants, au degré près d'indétermination qui se présente toujours quand il s'agit de distances.
La considération des éléments à distance infinie montre tout de suite qu'une condition nécessaire est que, si l'on applique la substitution 7 à l'absolu, on retrouve l'absolu lui-même, et cette condition est aussi manifestement suffisante. Les substitutions <r cherchées sont donc telles que l'on ait
Fv
FV
FV
FVv
FvX
Fsi
et d'après l'identité
F),» 1%. FXv !
F).|x F^ F^y =D(XIxv)«,
Fxv FP Fv
la valeur commune des rapports précédents est (A;r/ >;i
378. Pour étudier plus facilement les homographies que nous venons de définir, nous prendrons F sous la forme canonique déjà employée souvent,
alors, on a F^=o, Fv.= o, F)!X=o, FXv=o, et l'on doit par suite écrire, en appelant co,, w2, w',, <o',, y. des paramètres arbitraires,
[-1] = 2 10] tl)j , V, = 9 Oj', tû'j ,
Xi = a(w,oj'2 + w2to'j), X2 = awj co'( , A3 = aw2u>2.
La condition —■- = --^ donne alors y.- = 1 , et il est clair que l'on ne diminue pas la généralité en faisant a = 1 .
