EL Ê£-ÊL *£.Y

dxy dx-2 dx* dxl /

est un invariant du système y, g', (.r).

/ àf \*i / df N /(' dh f

Mais les quantités ( -~- ( ~ ) et — — : — - forment deux sys- 1 \ôxj \0x,J dx'^dx'lr J

tèmes invariants de même espèce; il en est de même pour les

. , / dg \ Ai ( àg \ hi dh g , . , .

([nantîtes ( -r-^- Mr2- et -: donc, en introduisant un

1 \àxj \ôx,J dx'l'dx'!/

facteur numérique, la fonction

P„A Pp'-nf df dg df dg\*

Pp> \dxi 0x2 dx2 dxt

où la puissance qui figure au second membre est symbolique, est encore un invariant, d'ordre h évidemment. Si p et p' sont égaux, on a, en particulier,

3P(f, g) = 2(- i)/', p^- api)PibpitPt.

Les invariants K et J se ramènent aisément les uns aux autres, en remplaçant la forme à, par exemple, par celle qui lui est équivalente. Il en serait de même des invariants analogues aux J obtenus en partant de deux formes aux variables (ç).

( )n pourrait appliquer les mêmes principes à bien d'autres cas : c'est ainsi que, par exemple, /"dépendant des variables (x) et (y), on obtiendrait sans peine l'invariant

ÊLAL-ÊLÊL;

0x\ dyi dx* dyi '

d'où l'on déduirait, en appliquant la représentation symbolique des dérivées, le nouvel invariant

Enfin les invariants k et .) se généralisent et s'appliquenl encore aux cas où les formes dépendent de plusieurs groupes de variables. 11 est inutile de donner plus de détails sur cette généralisation, qui est immédiate.

45. Les invariants JA (f, g (que nous pouvons considérer seuls, à l'exclusion des invariants K. d'après ce qui précède, sont particulièrement importants : ce soni les f eberschiebungen de Clebsch etGordan; en les utilisant seuls, on arrive à former les systèmes complets d'invariants des systèmes binaires.

l)'une façon générale, nous remarquerons que .l7'! /, / i est nul identiquement quand h est impair; que l'on a

JHf,S) -i)"J"...c../ ■), JA(X/, \Kg) /:*.!"(./, g l,

J*(/ y. g -g) J*(/, g) JA(/, fr) JA(/ 4-. J*(7, *).

En particulier, si /Ci ^ sont de même degré, et si h est impair, on a

J*(X,/- ltglV.xf pig)-- aiL)3*(f,g);

donc, dans ce cas. 3à(f,g) est. un combina ni defelg.

46. Nous allons dire quelques mots des cas particuliers où l'on a h — i ou // = 2.

Nous emploierons d'ailleurs les notations abrégées suivantes

Jl~ p dXi' Ji~ p ',).,:/

p(p—ï)dx\' ' l2 /> 1 p — i ) dxi 0x2 ' " P(P — 1) àxl

Pour^? = i, on a, en supprimant l'indice // ,

= ftgi—fîg