CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES. 4'i

dette fonction est le jacobien on déterminant fonctionnel <l< :s deux formes y et g.

On a les relations

a?i/i + ^2/2 = /, Vigi^^g-i =g;

d'où

Xil(f, g)= fgi—gfa

v*Hf, g)= —fgi-^-gA-

Si J(/, £') est nul identiquement, on a donc

f =A =.fï= P'df g " >i ~ #2 "' M-?'

<://'et c?^ désignant les différentielles totales de / et g; par suite

C étant une constante. Si en particulier p' ----- p, on a f= Cg, et les deux formes/ et g sont identiques à un facteur près, indépendant des (-z).

Le jacobien J(/, £'), égalé à zéro, définit les éléments (#) tels que leurs systèmes polaires d'ordres /? — 1 et/?' — 1 par rapport à y et £• coïncident.

Supposons que /et g1 admettent une même racine q fois et*/' fois respectivement; nous pouvons supposer que cette racine esl définie par x { =. o; alors un calcul facile montre que J(/, g) admet cette même racine q -f- q — 1 fois au moins, et l'admet certainement*/ -(- q' fois, si l'on a pq ' - - p'q = o, et dans ce cas seulement. En particulier, si /' et g sont de môme degré, et si qq' n'est pas nul, la racine commune est au moins double pour J(/, g).