Dans le cas de h = 2, il vient

J2(/> g)=fiig>n — ?J\ïgiï-^A-2gii- Si, en particulier, /'et g sont identiques,

iHf,f) = i(fuAi-fh)-

J- (/',/) est le hessien de la forme/.

J-(/, /) est le jacobien des dérivées partielles /, et/2, à un lacteur près; si donc J2(/, /) est nul identiquement, la forme/ est,

comme Ton sait, la puissance pii:me d'une forme linéaire. Si /admet une racine multiple d'ordre q, J2(/, /) admet ce même facteur >.q — 2 fois.

48. Trois formes /= axp, g = bxP', h = cxr ont pour invariant la fonction

/n At U-

S I 1 £> 1 2 6 î 2 ! ^'ll ^U ^SS

car les dérivées //y, gvy, ///j forment trois systèmes invariant- de même espèce; cet invariant esl d'ailleurs un combinant. Écrivons encore

/ï! — '■'./ 12 /l 1 2 H — g'js 'A' i-2 Cil •

et multiplions membre à membre cette équation ci la précédente. ( )n obtient l'identité importante

Si l'on fait h = . |>ui- «pic dans les //„■ mi remplace les ! l' >

par les i ./• i, mi a H = J(/, g • en vertu des ici m lions

mi a aussi

< >n peut donc écrire

J(/,5")= <?n (?iï ffïi ■

et

2[J(/,^)P= J2(/,/,) JS<A'. V) A' / *

toutefois ceci suppose p et // supérieurs à 1 .

Considérons maintenant une quatrième forme k analogue à /,