CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

ou bien

/ CpCY . C8C£ . CpC8 . QCv . CpC£ . CYC8\ II I sin — ! sin ± sin— - — sin L ± sin— - — sin — I = o,

le symbole n indiquant un produit.

Cette formule s'appliquera en particulier à des séries linéaires tangentes à un même cercle, et correspondra alors au théorème de Ptolémée.

Elle permettra aussi d'écrire simplement l'équation des deux cercles tangents à trois cercles donnés.

Si un nouveau cercle est tel que Cp, CY lui soient tangents, Cg, Ce quasi-tangents, on aura de même

/ . CrCv . C8C£ CrCô G£GY CpC£ CyC8\

ni sin— - — Lsin ± cos — - — cos L ± cos — - — cos! — I = 0.

De même si Cp, C8 sont tangents, CY, C£ quasi-tangents à un nouveau cercle, on aura

/ CpCY G§G£ . CpC8 . G£CYj GpG£ GyGa \ Tll cos cos ± sin— - — sin L ± cos— - — cos — ■ — I = o.

Les hypothèses précédentes ayant lieu simultanément, on peut

choisir les signes des quantités telles que cos— " — I et sin— " — I de façon à avoir

GftGv . CgG, . GftGg . G£GY . CrG£ . GyG8 p { sin -+■ sin p sin ' + sin p sin i — = o,

. CsCY . G5G£ G«G5 C£GY C«G£ GYG5 sin— - — - sin h cos— - — cos -+- cos— cos = o,

CftCY GSG£ . C«G8 . G£GY^ CrC£ CYG8

cos— - — - cos h sin—1- — sin ± cos—11 — cos = o;

il ii ii

si alors, dans la troisième formule, c'est le signe inférieur qui existe, on en déduit

C8CY G5a C3G5 G£GY . G«G£ . CYCs

cos— - — '- cos : -+- cos— - — cos — sin— - — sin =0,

et l'on en conclut qu'il existe encore un cercle tangent à Cp, C£, quasi-tangent à CY, Cg.

43o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

De cette remarque résulte la proposition suivante : Si l'on considère les quatre systèmes de deux cercles tangents à trois cercles donnés, ou bien tangents à l'un cl quasi-tangents aux deux autres, on pourra former, en associant convenablement quatre de ces cercles, un de chaque système, huit groupes de quatre cercles, qui seront ou bien tangents à un nouveau cercle, ou bien deux d'entre eux tangents, les deux autres quasi-tangents à un nouveau cercle.

C'est le théorème de Feuerbach dans toute sa généralité.

398. Soient donnés trois cercles C-x. Cp, Cy, el cherchons trois

autres cercles Cr, Cp', Cy, tels que les cosinus des distances CpCy',

CyCa, Ca'Cp', Ca'Cp, Ga(jy, Gp'Cy, CpCa, CyCa, Cy-Cp soient connus : c'esl le problème de Mali'aiti dan- toute sa généralité.

Les relations entre les distances mutuelles des cercles des deui groupes Ca, Cp, Cy, Cp', Cy' el Cp, Cy, <'.À. Cp-, Cy- déterminent

cosCpCp etcosGyCy : il y a d'ailleurs huit solutions. Ou achève alors facilement, el l'on trouve seize solutions.

Dans le casdu problème de Malfatti ordinaire, on a, par exemple,

cosCp>( cosC I -ï = cosCaCp- = — t, cosCa'Cp — cosCa < '.- — = i .

Dans ce cas, < '.x étant tangent à Cp, Cr et quasi-tangent à Cp-, Cy-, en posant

cosCpCy=«, cosCyCa=6, cosCaCp = e,

cosCa<:a •-- cosCpCp=^, cosGyGy=^,

il vient

en utilisant les relations analogues, on peut écrire

et les formules analogues; les radicaux ont des déterminations arbitraires, et t = ± i .

On a ainsi seize déterminations pour x, y, z; mais, en se servant des relations laissées de côté, on voit qu'il faut prendre £ = i, et il ne reste que huit déterminations.