CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES

g, /', et multiplions ensemble les matrices

./il ./l2 ./22

g 12 ki2

et

/il

on obtient l'identité

J2(./;/) js(/, *-) j2(/, a) j«(/, *)

J»(/, *) J»te, *) J^(A", A) J2(>, A) J»(/, A) JHé*, /') J2(/'. /n J2(A, A)

Supposons k = (xy)2, puis remplaçons les (y) par les (./ : on aura encore, comme plus haut,

y-ij\ g) }*(#, g) i*(fft h) g

D'une façon générale, si (F), (G), (H), . . . sont m systèmes invariants de n fonctions qui soient de même espèce, le déterminant de ces fonctions, si ni = n, est, comme l'on sait, un invariant ; si, de plus, (<I>), (*F), (X). . . . sont m systèmes invariants de n fonctions qui soient d'espèce opposée à celle des précédents, el si l'on multiplie ensemble les déterminants ou les matrices formés par les fonctions (F), (G), . . ., d'une part, et les fonctions (<l> I, (W), . . . , d'autre part, on obtient, comme produit, un déterminai! I dont tous les éléments sont des invariants et qui est égal à zéro si m^>n, à un produit de deux invariants si m = n et à un invariant mis sous forme différente si m << n. Ce procédé général est souvent utile pour trouver des relations entre les invariants d'un système.

49. Nous citerons encore les formules suivantes, parmi toutes celles qui se rapportent aux invariants J :

fi ( g, h)-hgi(h, f) -+- h J (/, g ) = o,

J(/, g)3(h, k)-r-J(f, h)5{k. g)-Hf, k)3(g, h)=o,

nn/,g),h]

hJHf, g)+ l g3Hf, h)-l-/5Hg, h);

4<i LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

dans cette dernière formule, facile à vérifier, p et p' sont les degrés de/et de g) d'ailleurs ces degrés, comme celui de A, sont supposés supérieurs à l'unité.