IV. - Les invariants A

50. Soient /? formes quelconques semblables, renfermant chacune n coefficients; si ces formes sont liées par une relation linéaire à coefficients constants, il en est de même de leurs transformées après une substitution n. Par suite, le déterminant A des n- coefficients de ces formes esl un invariant de ces (ormes; ce! invariant est d'ailleurs un combinant.

Supposons maintenant (/ formes semblables, à une seule série

de variables, (./') par exemple. /', . f.2 j\r renfermant

chacune p + i coefficients, c'est-à-dire de degré p par rapport ;iu\ ('#), et soit q <C p -+- 1 • Si ces formes sont liées par une relation linéaire, ce fait subsiste après une substitution cr; pour l'exprimer, il faut écrire que tous les déterminants d'ordre q, tirés de la matrice formée par les coefficients, sont nuls. Nous allons faire voir que l'on peut aussi écrire simplement qu'un invariant convenablement choisi, renfermant des variables, est nul identiquement.

Si d'abord fq+\, fç+z fP+\ sont p q -+- i formes arbitraires semblables aux /,, il est clair que si les p -+- i formes /, dans leur ensemble sont liées par une relation linéaire, il vn est

de même de /', . f2 f p. puisque les autres /', sont arbitraires.

La condition cherchée esl obtenue d'après cela par l'évanouissement d'un invariant A qui contient p- q-\-i séries de coefficients arbitraires.

< )n peut diminuer, cl cela de plusieurs laçons, dans A le nombre des arbitraires : nous allons examiner spécialement deux de ces laçons.

D'abord, g étant une forme arbitraire de degré q: on peut prendre pour les formes auxiliaires f(/A , , fq+%, .... fp+{ les

produits xpK~q g, xp~q~* x2g, rP 9g, qui forment évidemment

un système invariant, de sorte (pie toute relation linéaire entre les fi et ces formes entraine une relation Linéaire entre leurs transformées. Mais il faut montrer ipie si celte relation linéaire