CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. \5y

linéaires de «,, a2, a3, «4, l'équation d'une série orientée du second degré peut s'écrire

/ étant une forme quadratique, et peut être interprétée de la façon suivante : si l'on considère l'élément (A'), de coordonnées ordinaires (a), et un élément tangent au cercle A^= o contenant (A'), en désignant par tt la distance de (A') à l'élément de contact de cet élément tangent, et par cp^. le coefficient de aA dans la fonction linéaire A^, on a, en supposant toujours lim = i,

2 sin2 — =

2 <pi/-F«*

l'équation de la série y peut donc être regardée comme établissant une relation quadratique entre les carrés des sinus des moitiés des distances t't, t'2, t'3, t\; et réciproquement.

Si le cercle A^= o est de rayon nul, ti est la distance de l'élément (A') au centre de ce cercle; si ce même cercle se réduit à une série linéaire de coordonnées (£'), on a, en appelant ti la distance de (A;) à cette série

a;vd

SI II ti =

Si— Fa2 s/— *$':

et ce qui vient d'être dit subit une modification évidente ; il en est de même si le cercle A|= o est l'absolu, puisque alors

L'équation de f peut, par exemple, être ramenée à la forme

et l'on a, par suite en général, une relation telle que

. t\ . t* j . t3 . t\ sin— sin — = k sin— sin— ,

k étant une constante, pour définir cette série/.

On remarquera que cette même forme, qui peut être obtenue d'une infinité de façons, permettra de transporter immédiatement aux séries/, avec traduction convenable, les propriétés des gêné-

ratrices rectilignes des quadriques dans l'espace ordinaire; mais nous n'insisterons pas sur ce point.

420. Supposons, en particulier, ce que l'on peut toujours faire en profitant de la relation qui relie les coordonnées (A') d'un élément quelconque, que la forme / ne dépende que de trois variables A',. A'2, Aa : on aura alors de nouvelles propositions faciles à énoncer.

Si l'on a plus particulièrement

d'où

- I 1 1 - /.-Ml - I 1 1

on voit que les cercles A'2 = o et A'3 = o sont bitangents à / appartenant à un même système, leurs éléments de conlacl avec/ appartenant au cercle ^', = 0. D'ailleurs, tous les cercles bitangents à /'. du même système, sont donnés par l'équation

\ , a pi pa A', -t- p* A', o,

pi <'t pa étanl des paramètres variables; ils appartiennent au réseaui \,. \,. \ . Il est évident que deux cercles quelconques bitangents à /de ce système ont leurs éléments de contact avec/ appartenan! à un même cercle du réseau : el réciproquement, tout cercle du réseau détermine par ses quatre éléments communs avec /, associés convenablement deux par deux, deux cercles bitangents à f. On est ici ramené aux propriétés des séries quaitiques ordinaires.

On peut aussi, A't = o, A2 = o, A'3= o étant trois cercles d'un même système bitangents à/, employer l'équation

\ \, /Al /ÂT = o,

qui donne

, . / 1 / ' •> . . i . /.|Mii /cssm -A3sin— = o.

En particulier, un ou plusieurs des cercles A^ = o peuvent être de rayon nul, c'est-à-dire être des foyers d'un même système.