CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. 4 )Q

tique ordinaire. On peut d'abord considérer A',, A'.,, A'.; comme

des fonctions linéaires de «,, a2, a3 seulement, et si l'équation

de f est alors

AV— A',A; = o,

on en déduit une relation telle que

sin2/, = /. sin /2sin^ ;

on peut multiplier facilement les remarques analogues.

Si maintenant A',, A'2, A'3 peuvent aussi contenir aÂ, l'équation A',2 — A'2A'3 = o conduit aux mêmes conséquences qu'au numéro précédent. Plus particulièrement, on peut supposer que le cercle A', = o est l'absolu; alors Aa = o et A'3 = o sont deux séries linéaires contenant chacune deux éléments communs à y" et à l'absolu, et l'on a simplement

sin t2 sin l3 = k.

On peut employer aussi, avec les mêmes conséquences, l'équation

du numéro précédent.

Ici l'on peut supposer, ce que nous allons faire, que

A '2 = h( ;j.i«;+ [j.2a2-h fi3a3-+- [ita4),

A'3 = h'[ — ( \J-iOi + fi2«2-l- ,^3 «3)-+- [Ha't],

Si alors on emploie la forme A',2 ■ — A!,A3 = o, il faut X4 = o, pour que cette équation représente une série quadratique ordinaire, et en remarquant que sin2— = cos2 — , on a simplement

sin U = k sin t\',

la série linéaire A', = o contient d'ailleurs les éléments de contact avec /du cercle A'2 = o ou A'3 = o.

Ceci s'applique en particulier si A'2= o est un foyer de f.

Si maintenant on emploie la forme

/Ai + \/\', -+- /A'3 = o,

il faudra avoir

D'ailleurs, ici

ti /^ . U r, /

sin — v'i— sin— v " [J-\ cos— \> h (uv = o,

et l'on voit que l'on peut écrire encore

tx ± tt= consi .

Ceci s'appliquera en particulier aux foyers.

Nous avons ainsi retrouvé presque toutes les propriétés métriques fondamentales 'des séries quadratiques ordinaires sur la sphère. Celles que nous n'avons pas signalées sont pour ainsi dire immédiates. On n'oubliera pas d'ailleurs que les séries quadratiques ordinaires ont leurs séries tangentielles de même nature, et que par suite on pourrait sans peine énoncer à leur sujet de nouvelles propriétés semblables aux précédentes, qui seraient d'ailleurs des cas particuliers i\c> propriétés plus -1 in ides des séries orientées de seconde espèce el du second degré.