I. — Définitions et formules générales

422. La Géométrie métrique ternaire spéciale diffère de la Géométrie générale en ce que l'on suppose que le discriminant de la forme F qui définit l'absolu est nul. En gardant les notations du Chapitre précédent, nous supposerons donc que F se décompose en un produit de deux facteurs distincts

et par suite la forme <I> sera un carré parfait (g\ %)-. (g) est l'élément double de F, et l'on a

*ll=£l= — (?2<?'3 — ?3^'2)2- •••,

*23= glg3= — (<P3<?'l — <Pi<P'3)(?l?2 — <P2?'l))

On pourrait tout aussi bien se donner la forme <ï> à déterminant nul, mais il n'y aurait qu'à échanger les éléments de première et de seconde espèce pour être ramené au cas précédent.

Enfin, remarquons qu'il n'y aurait pas d'intérêt à supposer que F fût carré parfait, <ï> devenant alors une forme identiquement nulle.

423. Rien n'est à changer à la définition de la distance de deux éléments de première espèce [y) et (s); les mêmes remarques subsistent, et l'on a

■±an y/F^Fg» iim \/Fy*Fzi

Quant aux éléments de seconde espèce, on obtient leur distance en faisant comme au n° 126 un passage à la limite; si D tendant

46a LIVRE II. — LV GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

vers zéro, ;j. augmente de façon que le produil — 2 ^ y/ — D tende vers une limite )., on obtient

Cette dislance est encore celle qui est définie en Géométrie métrique binaire spéciale pour l'espace (t,Ç), les éléments absolus de cet espace étant confondus avec celui qui est déterminé p;u(4>) et(r.Ç).

Pour avoir plus de précision, nous orienterons un élément de

première espèce (j) en donnant une détermination fixe ;i \ F,-, vi un élémenl <le seconde espèce (tj) en prenant y/^r,' = ( g | ré ) . Nous écrirons alors

i z I : yz .ci

cos ■ • -m = •?- ■

puis, en appelant (.r) l'élémenl ("»&), de sorte que

nous aurons

Si (£), (y,), (<) sont orientés et appartiennent à un même élément orienté, on a

La distance 7,Ç est nulle quand (r,) et (£) coïncident, ou bien si (rjÇ) appartient à l'absolu ; elle est infinie si l'un des éléments (r,) ou (Ç) contient (£-); elle est indéterminée si (r,) et (Ç) contiennent ("■), ou bien si l'un des éléments (r,) et (Ç) appartient ;ï l'absolu.

Deux éléments de première espèce sont perpendiculaires quand ils sont conjugués par rapport à l'absolu; il n'y a pas d'éléments de seconde espèce perpendiculaires; les éléments normaux subsistent.