CHAPITRE II. — CES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES. 4j

est supposée exister, c'est-à-dire si l'invariant A correspondant, invariant des/} et de g, s'annule, les formes /', elles-mêmes sont liées par une relation linéaire, en supposant, bien entendu, la forme £• arbitraire.

La forme g ayant ses q racines arbitraires, il résulte de l'hypothèse que l'on peut déterminer des quantités X; non toutes nulles, telles que )M f\ + 1^f~\- • • • 4- ^qfç soit une forme admettant q racines arbitraires; si («), (&), (c), . . . sont ces racines,

on a donc

/i(«) Ma) ... /,,(«)

Mb) Mb) ••• Mb)

A(c) /,(c) ... fr/(c)

ce déterminant étant nul, on a une relation telle que

les es/ étant indépendants des (a); changeant les (a) en (,r), on en déduit immédiatement que les f sont liées par une relation linéaire à coefficients constants.

Nous avons supposé ici que les mineurs du déterminant relatifs aux éléments de la première ligne n'étaient pas tous nuls; s'il en était ainsi, on raisonnerait de la même façon sur l'un de ces mineurs; et ainsi de suite.

En second lieu, montrons que l'on peut choisir pour g la forme simple (ç|. ■*•)?, qui ne dépend plus que des arbitraires çf et £2, variables que l'on ne suppose pas figurer dans les coefficients des fi. Par hypothèse, on a, les (£) restant arbitraires, une relation

telle que

et l'on peut évidemment supposer que les 0/ sont des formes de même degré en(£), tandis que à est une forme de degré p— q par rapport aux (#), contenant aussi les (?)•

La relation précédente ayant lieu identiquement, on a aussi, en prenant la polaire par rapport aux (ç),

choisissons les (r,) de façon que le coefficient de (;LrV/ ' dans cette relation admette une racine arbitrairement donnée d'équation (ç(1)|#) = o. Si ceci n'est pas possible sans que les coefficients de la relation deviennent tous nuls, les cp/, avant leurs jacobiens nuls deux à deux, sont de la forme X/<p! ; ), les )./ étanl des constantes; et, pour la même raison, on aura 'l(zx)<f = -r : . cette dernière hypothèse entraîne g" = o, et par suite on a une relation linéaire à coefficients constants entre les//, de sorte que la proposition est démontrée.

Si, au contraire, les coefficients ne de\ ienoenl p.is tous nuls, on a une relation telle que

où les notations s'expliquenl d'elles-mêmes.

En appliquant à ente relation le même procédé el continuant de la même façon, on rencontrera une relation à coefficients constants entre les/}, «m bien <>n sera ramené finalement au premier cas, c'est-à-dire à une relation telle que

- ;,/ ' /' . - ? ' /".-+- ■ '' ' f -4- iL<<7-i> e

g étant une forme aux racines arbitraires : . : ' i ; '/~,)).

Donc, dans i"n> les cas, l'évanouissement identique du déterminant A des coefficients des formes /',- et des formes auxiliaires xp{ ' : i .'■>■/. ./;' ; ' .r . : ./ ■ /'/, ...? exprime l'existence d'une relation linéaire entre les formes//.

La marche de la démonstral ion montre en même temps comment l'on pourrait faire d'autres hypothèses sur la composition îles formo auxiliaires adjointes aux /', pour former le déterminant A.

On pourrait aussi, pour exprimer «pie les </ luîmes// sont liées par une relation linéaire, exprimer que leurs dérivées partielles semblables d'ordre </ — i sont liées par la même relation linéaire; comme il y a (j dérivées partielles d'ordre (j — i, on voit que l'on est amené à égaler à zéro le déterminant formé par les dérivées partielles d'ordre q — i des y formes /'/. Réciproquement, il est aisé de démontrer que cette condition est suffisante. Mais ce déterminant, qui est un invariant, e>l de même degré par rapport aux (.r) que l'invariant A obtenu en dernier lieu, quand on n remplace ç, par x2 et ç2 par — x, , ce qui ne change rien à ses pro-