CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

Deux élémenls (y) et (z) sonlpa/rillèles quand (yz) contient g ; leur distance est nulle à un multiple près de iim~.

11 n'y a pas lieu d'envisager la dislance y'C, d'un élément de première espèce à un de seconde. Mais on peut définir la distance Cy de (Ç) à (y)', si (z) est perpendiculaire à (y) et appartient à (Ç),

la distance X^y est celle de (Ç) à (yz). On trouve sans peine

(^•lOv/Fy

Cette distance est nulle pour(Ç|^) = o; infinie quand (Ç) contient (g-), ou bien que (y) appartient à l'absolu; indéterminée quand on se trouve à la fois dans les deux cas précédents.

On fera des remarques analogues à celles du n° 373, sur l'interprétation métrique des équations.

L'étendue d'une suite de n éléments a toujours la même définilion. Mais l'on voit que l'étendue d'une suite triple de première espèce est toujours nulle, à un multiple près de /iirrnz, d'après les formules du n° 374 : c'est un théorème fondamental.

Mais si l'on fait en général — — X — = S', un passage à la

° iim [jl- '

limite analogue à celui que nous avons déjà fait donne

en remplaçant (£/jÇ) par (xyz)2 et les quantités \J®?. . • ., $*£, • • •> par leurs valeurs.

Cette quantité S' est la surjace de la suite triple (x), (y), (z); cette notion s'étend immédiatement à une suite de n éléments.

L'étendue de la suite (£), (rt), (Ç) est

\ *iÇ *« *Çy|

ou, en introduisant les élémenls (#), (j), (g) de la suite équivalente

(gyz){gzx)(gxy)

421. Si les éléments fondamentaux n'appartiennent pas à l'ab-

solu, soit

F = a?f + a?| -f- a?| -h 2 cos8,:r2ar3-f- 2 costU^^i — 2 005632-, a?,,

et supposons m = — • Nous orienlerons les éléments fondamentaux en faisant, pour O/, ar/= 1 et \/F^= 1 ; de sorte que

cosO,O, = 0,. cosO,0,= 8,, cosO,02=e3. On a aussi o = D = 1 -+- 2 cosO, cos8,cos6,— - cos*8,— cos*8,— cos*83

e,| 6,-1-6, . — 8,-»-8,-t-8, 0, — 0.,— 8, 0,-0,-03 = 4sin — sin ■ sin sm 1

et avec l'hypothèse 8, -+- 83 - 0 . :o(mod2ic .

•I> sin8,£, sin8,*, sinS,*,)*,

de sorte <|uc nous prendrons

(f|£) =sine,Ç,-t-5ine,t,-l-sine :

Dans ces conditions, on peut considérer 6< , ô2i Bs comme les distances o2o3, oso,, 0,0..

On a

«m B, sin6,

et, par suite,

sin 6, sin 6, sin 63 sin 8, sin 8, sin 8,

2 «in 0( sin 8, «in 8, '

et aussi

Q,0,= - : , Sin 6,

d'où

et ainsi de suite.

On peut supposer que l'élément fondamental O, coïncide avec (g), et l'on peut alors écrire

F = a?| -t- x\ -t- a cosO^j^j,