CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

avec

g= sinO,^,;

0, est ici la distance CKO3, si Ton veut. En particulier, on peut prendre B( = o. Enfin, supposons que û2 et Q3 forment l'absolu, de sorte que

F = 2ft.r3,

Q{ reste arbitraire et l'on a des formules simples.

On fera les mêmes remarques qu'au n° 375, sur l'interprétation des rapports des coordonnées.

425. Il est clair que si l'on considère l'espace E comme un plan dont les éléments de première espèce sont les droites, et ceux de seconde espèce, les points, la théorie que nous venons de développer coïncide avec celle des angles et des distances dans cet espace, à la condition de remplacer la distance de deux droites par leur angle et de prendre, comme absolu, les deux points circulaires à l'infini.

Il serait facile, d'ailleurs, de retrouver de cette façon toutes les formules de la Géométrie plane et, en particulier, de la Trigonométrie rectiligne et de la Géométrie du triangle.

Examinons seulement les propositions qui correspondent à celles du n° 376.

L'élément P, perpendiculaire à O, et contenant Qj est

£2COs62 — £:jCOs63= o,

en conservant les premières hypothèses du numéro précédent; les trois éléments P; sont alignés.

On peut répéter ce qui a été dit sur les milieux des distances

telles que 0203. Mais la distance û,9.3 a un seul milieu, conjugué harmonique de (0,#) par rapport à Q2 et û3 ; les trois milieux analogues ont des propriétés immédiates résultant facilement de la considération du cas général.

Enfin nous pouvons répéter cette remarque générale, que les théorèmes de la Géométrie métrique spéciale correspondent à des propriétés plus générales de la Géométrie projective, faciles à

énoncer.

An. - I. 3o

II. — Les substitutions linéaires au point de vue métrique spécial.

426. La distance de deux éléments quelconques ne change pas quand on fait un changement de coordonnées ou une transformation homographique quelconque, à la condition que, dans le dernier cas, le nouvel absolu soit l'ancien transformé, et que, dans tous les cas, la constante m ne change pas, tandis que la constante \ devient ~),o, o désignant le déterminant de la substitution faite sur les (.r).

Transformons maintenant les éléments de l'espace E par une homographie quelconque ?

x,= \tx\ -t- \iix\ -+- v/ar'g,

les (x') étanl rapportés au\ mêmes coordonnées que les (.r), et laissons l'absolu invariable, ainsi que les constantes m et a.

On peut rechercher les homographies t telles que la distance de deux éléments de première opèce soit égale à celle des deux éléments correspondants, au degré près d'indétermination qui se présente toujours quand il s'agit de telles distances; telles aussi que la distance de deux éléments de seconde espèce soit égale, à un facteur constant près, à celle <!<•> deux éléments correspondants.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que la substitution cr transforme l'absolu en lui-même.

Pour obtenir des formules simples, soient

V = *x.2x3, {g\\)=il\\

on trouve alors deux séries de substitutions a-, savoir les subslilu

lions <r'

.r, = oj, x\ -+- 10 ', r'2 -+- u* x\ ,

./■:,= cDajr'g,

et les substitutions 7"

Xx = (•>! x\ -+- w', x'2 -+- w'j x\ , x<, = w'.

X3= lû'zX'i.

Le déterminant (À;j.v) est égal, suivant le cas, à (x>,u)2ios ou à — 10 , o)'2 (o'3 .