CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

Si (x) et {x') sont correspondants, on a

F*» = a>2 to3 F^ ou Fx*=di% ta '3 Fa;'»,

suivant le cas; et de même (g\%) = W| (gi£)5 dans tous les cas.

Si F était donnée sous une forme quelconque, on procéderait comme au n° 378 pour obtenir la forme des substitutions 7' et 7". Ainsi pour F = x~,-\- x\, on trouvera les substitutions 7' sous la forme

i(tp2— co3) , Q)2 -j- oj3 ,

OC ^ — ~ OC 9 r~ Ou o •

427. Les substitutions a' donnent, en choisissant une détermination fixe pour y/oL>2<o;î et définissant l'orientation de [x') par y/Fxî= y/(o2to3 y/FX'2, les formules

ces substitutions transforment les éléments (<p) et (s>') de l'absolu en eux-mêmes, respectivement.

Les substitutions 7", au contraire, échangent entre eux les deux éléments de l'absolu, et donnent

yz'==—yz(mod4int'x), v)T = 77^ - >iÇ,

toi

en prenant y/F^s— ^to'2to'3 JFX't, pour déterminer les orientations des éléments correspondants (je) et (#').

Les substitutions u' sont les similitudes proprement dites, et les substitutions 0" sont les similitudes symétriques.

Dans tous les cas le rapport constant r= = est dit rapport

de similitude pour la substitution 7.

Envisageons d'abord les similitudes : les invariants correspondants sont, avec les notations du n° 206,

l = (jjj -+- 0)2-+- 103, J = t*»2 0»3 -4- ù)3{!)i +■ tojto*, C^=W1WiU)s,

et cela quelle que soit la forme F, si l'on a appliqué ce qui a été dit plus haut; co,, to2, to3 sont donc eux-mêmes des invariants. L'équation en p a les trois racines to,, io2, a>3, que nous supposons d'abord distinctes. A la racine oj, correspond L'élément double (g) ou 0|, et un élément double de seconde espèce d'équation

OJj <JJ2 ('-M — W.i

on peut le choisir pour L», . el ceci revient à supposer o>'( = co,' = o.

Alors les éléments doubles sont, d'une façon générale, les six éléments fondamentaux.

D'après une propriété générale des homographies, la distance (<i,ç)(Q,ç') est constante, (£) el (£') étanl deux éléments correspondants : on a