CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES. 4g

priétés; de plus, on voit tout de suite que ces deux invariants ont même source, à un facteur numérique près; donc ils coïncident à ce facteur près. Il en résulte une transformation de déterminants qu'il serait facile de justifier directement.

51 . Les considérations qui précèdent nous permettent d'obtenir sous une forme particulière un système invariant tel que l'évanouissement de toutes les fonctions de ce système soit la condition nécessaire et suffisante pour que tous les déterminants d'ordre q tirés de la matrice formée par les coefficients des fi soient nuls. Elles permettent aussi, d'une façon plus générale, d'écrire des conditions nécessaires et suffisantes pour que tous les déterminants d'ordre q tirés d'une matrice à q lignes soient nuls, et cela sans aucune hypothèse préalable.

Les applications possibles sont nombreuses : en voici dès maintenant quelques-unes.

Pour écrire que deux formes semblables f, = axp, f2 = bxr, sont identiques à un facteur près, nous avons la condition A = o. suivante, où l'on a remplacé çf par x2, £2 par — xK :

ap,o Pap-\,\

■IXtXï

IXiXy

ao,p

bo,P

cet invariant ne diffère que par un facteur numérique du jacobien J(/, g), d'après ce qui a été dit plus haut.

Considérons les dérivées partielles d'ordre h de la forme f=axp,

h étant au plus égal àf , de sorte que leur nombre est au plus égal à S- -4- i, et leur degré au moins égal à £■• Si ces dérivées par-

tielles, qui forment un système invariant, sont liées par une relation linéaire, ce fait est exprimé par l'évanouissement du combinant A, invariant pour/, où l'on a, comme plus haut, remplacé An. — I. 4

5o LIVRE I.

les (£) par les (x) :

ap,o &P—i,i

ap-h,h {p — h)ap-h-\,h+\

"h.p-n dp— i,p— /n-i

En particulier, si p est pair et h égal à — > cet invariant est

indépendant des (x).

L'invariant précédent ne diffère que par un l'acteur numérique du suivant, d'après ce qui a été dit plus haut.

à*hf

Ar?"

dx\h-*dxt

frhf

dx\ll-i àx2

dx\h-*dx\

àltif

• >.,■'{ ,).,■'!, 0r'{ ldx\ '

dx\dx'i

à*hf dx^dx'i+i

dx\h

le déterminant A' est d'ailleurs le déterminant A relatif au* dérivées partielles d'ordre // de la polaire d'ordre > h «le /'par rapport aux (x) remplacés par les (y)-, considérée comme fonction des {y)- Pour h = i - A' est le hessien de f à un facteur pus ; A en est une transformation.