CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

en un élément commun, et l'on a sans peine

G«CP- <*|«)(*|P) VaP ( ^

Les deux cycles équivalents Ta, T/, sont de véritables séries quadratiques ordinaires et ont deux éléments communs, outre ceux de l'absolu. Ces deux éléments communs appartiennent à une série linéaire, facile à déterminer et dont il est inutile d'étudier ici les propriétés bien connues.

La dislance des deux cycles, définie toujours de la même façon, est déterminée par

cos

TaTh = F(ttP).+ «;(glP)«+ftKg|«)* = 7-3-4- *3-<j»

Introduisons les coordonnées (a) et (b) des cycles r„ et IV Si l'on calcule le discriminant du premier membre de l'équation del^, considéré comme forme quadratique par rapport à(cpcp'l;), (fXç), ('f')J-), on le trouve égal à a, (ar/o«3 — a{ ah ).

Appelons alors Ca- la forme quadratique par rapport aux («), 2a2a-i — ci\ a.', ', on trouve d'abord

, y/— Ga*

puis

TuTh -Cab W~7Tj 2À*[CaA-4-\/-(W— Gh]

cos — r— = . .- et L.aL.£ = , , | ■) .2

Le cercle équivalent à un cycle Trt est orienté par le signe

de yj— Gai.

Quand Cai= o, les deux cycles Ta et T6 sont orthogonaux.

Quand on a <

on a, à la fois,

Ga.GR= O, COS ; =1,

a P 2 im

et les deux cercles Ga, Cp sont tangents, ainsi que les deux cycles Ta, IV

Les cas particuliers sont faciles à examiner, comme au Chapitre

précédent, et fournissenl des remarques analogues, sur lesquelles il est inutile d'insister.

435. Au sujet de trois cercles, ou trois cycles, on peut répéter ce qui a été dit au n° 390, avec quelques modifications sur certains points.

Soit un réseau de cercles

X i Ca-v- X2 Cp -+- X3 C — o r

ils jouissent tous, à l'exclusion des autres, d'une propriété commune, facile à découvrir; en effet, leurs coordonnées (a) vérifiant une relation linéaire, il en est de même des quantités at, a2, a3 cl \; — C~n qui correspondent aux cycles équivalents; par suite, il est clair qu'il existe un certain cycle spécial, c'est-à-dire composé de (g) et d'un élémenl linéaire fixe, dont la distance à tous les cycles équivalents aux cercles Au réseau est constante. On aurait d'ailleurs pu, manifestement, interpréter d'une façon analogue la propriété commune des cercles d'un réseau en Géométrie métrique générale.

Si (ri) est l'élémenl l>\<- qui, avec (g), constitue le cycle spécial dont nous venons de parler, tous le- éléments tels (pie Cap déterminés par les éléments communs à deux cercles «In réseau, contiennent (cl).

Le réseau contient un faisceau de séries linéaires qui onl en commun l'élément (d). Parmi les cycles équivalents aux cercles du réseau, se trouvent deux séries de cycles spéciaux ; les éléments linéaires, autres que (g), des cycles spéciaux d'une même série, appartiennent à un même élément contenant (g).

Un réseau de cycles

l-M'V- ;j-2 l'/y — !-t:tl\ = o

est formé de cycles orthogonaux à un cycle fixe Ta et l'on fera, à ce sujet, les même remarques qu'au n" 390. Mais, de plus, on observera qu'un tel réseau est aussi un réseau de séries quadratiques ordinaires, de seconde espèce, contenant deux éléments fixes, ceux de l'absolu. La jacobienne de ce réseau se compose précisément de (g) et du cycle I\/, tandis que la cavlejenne est formée de l'absolu et centre de IV, et Ton pourra appliquera ce