CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

par l'équation

F(7i}JK2,73)+jr! = o,

et cette même substitution transposée établira la correspondance

entre les éléments (y) et (y'), à la condition de faire

On est donc ramené à chercher les substitutions, dans un espace à trois dimensions, qui conservent un absolu défini par

FJ..-+-j'î = o,

les (y) étant les variables d'espèce opposée aux (a). Mais ici, le discriminant de la forme Py'-hy^ est nul, ce qui va modifier h s théories du Chapitre précédent.

•438. Prenons l'absolu sous la forme F = — 2x2Xz = o ; on trouve alors immédiatement, en s'aidant de ce qui a été dit sur Its mouvements en Géométrie métrique ternaire générale, que les substitutions cherchées, que nous appellerons substitutions conformes de première espèce, sont de la forme

a2 = À2 a'i ■+• wi 7i — "Jl y':, "^ 0Ji w2 V 2 a'4, a3 = X3 y.\ -4- o/f a'2 -+- Q)'22 x3 -+- <o j to'2 yA z'4 ,

a4 = X4a'1 -I- W[ oj'j \l ■>. y.'., -- w3 u/2 y'i a't -+- ( wf w'2

/,, à2, A3, A4, co,, w',, ojo) w-> étant des paramètres arbitraires. Elles donnent inversement

x\ — X ! xx -+- À, .r., -+- X3 x3 -+- X4 \/2 J"2 .r3, .7'., = wj.r., -t- o/j2 .r:i -+- (U! o/j y/2 y 1x^X3, ce'.. = w; ,r2 4- u>'22 a?3 h- u>2 oj'2 /2 / 2ara ^3? /2 a7'2 a?'3 = tùi w2 v/2 a?2 -+- to 1 w2 V^2 J"s -+- ( Wi to'2 -+- œ2 to', )\/-ixi .

Ces substitutions forment un groupe à huit paramètres, comprenant en particulier le groupe des similitudes et les similitudes symétriques. Il leur correspond des invariants conformes, sur lesquels il est inutile d'insister.

Sans étudier les éléments doubles définis par les substitutions précédentes, remarquons que les séries linéaires (a'), qui sont des An. — I. 3i

transformées de séries linéaires, vérifient la relation

À; y.\ -+■ u>| t.j| /a a'2 -+- co2co'2 v2a'3 = o.

On peut donc choisir l'élément fondamental Ù{ de façon que ),., = o, sauf si l'on a à la fois 10, = to'2= o, ou w'( = to2 = u. Dans ces deux cas, les séries linéaires considérées sont celles qui contiennent l'élément double (g) de l'absolu.

Supposons que l'on puisse prendre X4== o, et cherchons alors quand il y a involution. Un premier cas, auquel peut se ramener une substitution conforme quelconque du même genre par l'adjonction d'une similitude ou d'une similitude symétrique convenablement choisie, correspond aux hypothèses

À., = ).a = /,. — : O, U)t-t-Wj = 0, Xl = — (COjtoj — (02(o',).

Les cercles doubles pour cette transformation sont d'abord le cercle

— m-iXi -+- eu'] a?3 ■+■ (>j| y 2 \ o,

qui se décompose en deux éléments contenanl (£■), à éléments orientés; puis lous les cercles d'un réseau, leurs coordonnées vérifiant la relation

— 0J| a2-+- WJO3-4- U)| y 2 2; = o.

Les cycles équivalents à ces cercles sonl à une dislance constante/; du cycle spécial formé par (^) et l'élément (A) d'équation

— W, ;2— WjÉs = o;

on a d'ailleurs

wj/â

tu.

l'orientation de A étant déterminée par y/ — 2 w't 100.

Si, de plus, (j') et (^') sont deux éléments de première espèce

correspondants, ces deux éléments sont alignés avec (A) et l'on a

sans peine

Av ,Av' , /,-

tan"2— — tan"2— i— = tang*

Celte transformation est une inversion spéciale de première