OL

composée avec ces substitutions, leur conserve leur caractère invo-

lulif.

Une substitution conforme quelconque pour laquelle X4 ne peut être supposé nul peut se ramener à l'un des types précédents par l'adjonction d'une similitude ou d'une similitude symétrique convenable.

Pour la substitution

<x1=a>a'1, a2=wa';, a3=ioa3, a4 = X4a, — io«'4 , les cercles doubles sont l'absolu el tous ceux dont le rayon est

cal à — X — , deux cercles correspondants ont même centre, et

la somme de leurs rayons est — a -• Pour la substitution

Z[ = — tua', , a2 = wa'j . « ; wa ,, st^ = ).■, a', — it>a . ,

les cercles doubles sont tous ceux « 1 1 1 î se décomposent en deux éléments contenant g >, el le cercle particulier

Si (y) et {y') sont deux éléments correspondants, ils son! ■dignes avec (g), el l'on a

XTTÎ

12, est d'ailleurs le centre du cercle 2 0)X( — /., \ ■'../■.../•., = o, donl

h* i.in • » f î esl — •

Ou fera les mêmes remarques qu'au a" M)4 sur les substitutions conformes relatives aux cei cli -

139. Soumettons maintenanl <!<■ la même façon les coordonnées '/,. aa, '/.. '/, d'un cycle à une substitution linéaire, et envisageons en particulier les substitutions linéaires sur les (a) <|ui définissent en même temps une transformation des éléments (£ . Comme au n" i()0, on voit toul de suite que les substitutions cherchées seronl celles <|ui conservenl la série quaternaire définie par l'équation quadratique Ca»= a a2a3 — a, a, = o : el la substitution transposée appliquée aux variables

a(?X5)(«p'X$), 2(?X0(?'f'0, 2(?'X? -- : . («pfS

liées |»ar une relation quadratique, définira la transformation correspondante sur les(ç). Dans l'hypothèse, que nous conserverons, où F = — 2X2X], ces variables sont simplement, en gardant les simplifications du n° 132, ■>. z2 ;.. — '. ;,;:j, — ^. ;,;.;. £?.

Ces substitutions transforment un cycle de rayon nul en un cycle de rayon nul et, de plus, conservent la di.-tance de deux cycles.

•440. Nous pouvons définir un élén.ei: l(;) par les deux ystèmes