CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE. |.S

de paramètres binaires (X)et(u.) qui définissent les deux éléments communs à (ç) et aux éléments qui constituent l'absolu, d'équations

quand F = — 2x2.v3; ou plus généralement, avec les notations du n° 432,

Xi(<p<p'Ê)— *»(<?XÉ) = o, HiOpçTj-M?'**) = "■

Les substitutions que nous avons en vue, transformant un cycle de rayon nul, c'est-à-dire composé de deux éléments (x) appartenant à l'absolu, en un cycle de même nature, seront par suite obtenues en posant

Ai = ffj À ', — ff', A '., , ;J-i = T, [J.\ -+- Tj [Aj ,

X2 = ct2X', -i- j2 X'2 , ij-2 = --i uj -+- t'2 ;j.', ,

ou bien

i — J i V- 1 ~~ J i lx -i • r-i — 'ziAi~r~xiAn

comme au n° 401 ; et l'on fera les mêmes remarques. L'équation du cycle Ta s'écrivant

2 «1 Xi iJ-j -f- 2-^2 A i |JU + i «3 À 2 [J-I -t- f?i À2 fJU = O,

on aura pour les coordonnées du cycle transformé IV, en ne considérant que les substitutions du premier type

a.= a, :i Ai -J- a,Taa2-h G.yz{a3~, t., t, at,

#2 = i! Tj aj -+- ^[T^c/j-^ 72~irt3 î2"iai!

rt3 = (Jj -] 6T j -f- dpjfl-i— J., T[ «3 '-i T2 T2 Ctt,

a\ = 2 s', t', «j -f- 2 t', -[-, a2 -i- 2 72 -', «3 -t- tj'2 t2 ci; et, par suite, l'absolu étant F= — '2.r.j.r;, = o,

Cl^-i — <M -1 Co ,3 — Jl -1 Çl Ï3 ' J I -1 -.[ -.ï ' J 1 • 1 -.1 •

Çl Ç3 — — Tl T2 Ç 2 S3 ~+~ ffl T2 S 1 S3 "+" J 1 "2-1 ^2 T 1 L2 Ç 1 )

ÇiÇ* — T2 -1 ~% Zi ■+- J2 »1 ?I ,3 "^ 72 "I ■= l S 2 Ti ' 1 -=1 '

£2 ,- £' £' rr *•' £' fc' -' .,-£'£' ' -' t' £'2

Ç 1 - °2 ~2 Ç 2 ? 3 °2 ~2 S 1 S 3 J 2 * - -> 1 - 2 Ji ""il •

Ces substitutions, du premier type, seront dites conformes de

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seconde espèce, et il leur correspondra des invariants conformes faciles à définir d'une façon plus précise.

Les éléments doubles, pour une substitution conforme, se déterminent connue au n" M)3.

iil. En général, qu'il s'agisse d'une substitution du premier type ou d'une du second, les cycles spéciaux, c'est-à-dire pour lesquels ,/l = o, < 1 1 1 î se transformenl en cycles spéciaux, contiennent l'élémenl lixe déGni par

si Ton a -. -■ <>. la transformation esl une similitude, «m une similitude symétrique, suivant son type. < .'• cas écarté, -"it

o-jTj -' "- rl Prei -• ce T1' '"', possible, l'élémenl \\\<- que

nous venons de définir, pour élément f lamentai !•->,. de sorte

que o-, = T| = o. I ue substitution «lu premier type sera alors involutive si l'on a de plus t'2= -, o. Les éléments doubles de chacune «!<•- involutions ainsi déterminées sur les deux éléments de l'absolu sonl conjugués harmoniques par rapport à [g) et < ).. ou 03; en les combinant ensemble, on détermine deux couples d'éléments de seconde espèce t el ,' , x') et ((â'), 1rs éléments xj3 i >-\ mtenanl 12, .

Le- cycles douilles pou!' la Substitution envi- -"iil Ceux des

deux faisceaux déterminés par y. <-i : x') et (V : ces deux faisceaux s,, ni conjugués el l< - cycles de l'un sont orthogonaux aux cycles de l'autre.

Une substitution du sec I type sera involutive, >i l'on a de

même <r'a = t2 = o, et de plus y'( ~.,^=7.2-\.

Dans ce cas. dit inversion spéciale de seconde espèce, on a

çiçs = ffi'iCi 1 ;î — Jt ■ -

;i ;s — "1 ■-• ; 1 : ■ CiÇ«— "jmÇiSji

et l'on est ramené à l'inversion particulière définie au n° -<S'< comme cas particulier de la correspondance quadratique Irrationnelle, de sorte que nous pourrons appliquer les propriétés de

celte transformation.