CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

Les cycles doubles pour cette substitution sont d'abord le cycle

de centre 0,, et tous les cycles orthogonaux à celui-là. Le carré de son rayon est d'ailleurs \2 — -•

Deux éléments (;) et (;') correspondants sont alignés avec Q,

et l'on a

Prévenons maintenant au cas exclu d'abord où l'on a er2T2 = o, et soit T2 = o. Si la substitution est du premier type etinvolutive, on peut disposer de Q, de façon que

tT1 = ff'2=0, ^'1=0, -1-hr'2=o,

et l'on se trouve dans un cas limite du cas général ; pour le second type, il y a involution seulement si c-2 = o, en particulier, et l'on est ramené à une symétrie.

Une similitude ou une similitude symétrique convenablement choisie permet toujours de ramener une substitution quelconque du premier ou du second type à un cas d'involution. Une substitution conforme involutive se ramène aussi, par l'adjonction d'une symétrie évidente, à une inversion spéciale.

Nous remarquerons enfin que le réseau formé ici par les cycles spéciaux, composés de (g) et d'une série linéaire, a pour correspondant un réseau de cycles contenant un même élément (ç) fixe. On ne pourra donc pas en général, par une des substitutions que nous venons d'étudier, transformer trois cycles en trois séries linéaires.

Pour des raisons que la Géométrie quaternaire rendra évidentes, un hypercercle sera l'ensemble des cercles dont les coordonnées vérifient une relation de la forme

A !<*£-!- ïAj01ai+ 2 A3 ai a3 4- 2 A4 ax «4 -h A5(2a2a3 — af) — q,

l'absolu étant toujours pris sous la forme F = — 2^^3 = 0.

Tous les cercles d'un hypercercle sont à une distance constante d'un cercle fixe, comme on le vérifie sans peine; et de même tous les cycles équivalents à ces cercles sont à une distance constante d'un cycle fixe, qui a même centre que le cercle fixe précédent.

Un hypercycle sera de même l'ensemble des cycles dont les coordonnées vérifient une relation de la forme

L'ensemble des cercles équivalents à ces cycles forme un hvpercercle, et l'on aurait pu faire la même remarque en Géométrie métrique générale.

Nous n'étudierons pas ici ces éléments nouveaux, auxquels s'appliqueront les théories de la Géométrie quaternaire.

V. — Les coordonnées circulaires et cycliques, et les séries orientées.

\ VI. Les cercles Cpdonl les coordonnées \érifienl une relation linéaire

définissent un élément (a), de coordonnées ",. </,. a ,. tel que la distance de cel élémenl aux cycles équivalents aux cercles Gp ail une valeur constante /. définie par