CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE. i<| t

les (ç) étant les coordonnées de seconde espèce; égalé à zéro, il représente un cycle à orientation arbitraire, ayant même centre quey", lieu des éléments (£) tels que leurs deux éléments communs avec f soient perpendiculaires.

11 n'y a pas lieu de considérer L'invariant h.

448. Les cercles (X) bitangents à f sont d'abord les cercles décomposables en éléments confondus contenant («•), vérifiant

X1 = o> X3 + aÎ+XJ = o.

On a ensuite les éléments tangents h f, vérifiant

et enfin deux systèmes de cercles bitangents proprement dits définis par les relations

Xo — O,

ou bien

Ces cercles ont leurs centres appartenant aux axes; nous les avons déjà étudiés quand ils se décomposent; mais, de plus, on voit que chaque système contient deux cercles de rayon nul, appelés foyers. Les distances y2 et y3 du centre aux foyers sont définies par

t5 = X. £•=*!, Yj = X--^

rJi

qi—<jï

Çt <1\

les foyers sont fournis par les éléments communs à / et à L'absolu associés deux à deux.

Si une série quadratique /' a les deux foyers d'un même système communs avec/", son équation est de la forme

q{ \f-+-(?2-i- oj) A!; -+-(</ 3 -+- to)A| = 0,

to étant un paramètre arbitraire, et les deux autres loyers sont aussi communs. Ces séries sont homofocales. Des séries homofocales forment un faisceau comprenant l'absolu, d'où un grand nombre de propriétés connues s'énonçant immédiatement.

449. La réduction supposée au n" 447 n'est pas toujours possible. Le cas le plus important dans lequel elle cesse de l'être se présente lorsque la série quadratique / contient l'élément double {g) de l'absolu. On peut alors prendre /sous la forme

/ = />iA|-+- 2/>sA] A8 = o, l'absolu restant

F= AJ-+- \; o.

La série quadratique est dile parabolique; l'élément défini par A, = o, A3 = o est son axe, et A, = o définit son sommet; l'élément de contact de A, = o avec/, soit A, = o, A>= o, est perpendiculaire à l'axe. Les invariants de/et F sont

d=— pip\, e /-;. o;

l'invariant y de/ et F est ici

:i' /MCI - J /':':; >;

égalé à zéro, il définit, outre (g >, une série linéaire qui s'interprète comme précédemment.

Gomme cercles bitangents à /, on trous, deus lois la série des cercles décomposables en éléments confondus contenant (g)\ les éléments tangents à /vérifiant la relation

>••. = O, p\ '/.-, '/'i/'jÀi /.., = o,

et enfin une série de cercles proprement dits :

x,= o, p\\\ + ipipty iX,— p\\\ = o.

Ces cercles ont leurs centres appartenant à l'axe; il existe un seul foyer proprement dit, défini par )>,= o,/?, X, + 2p2li=o; sa distance au sommet, ,j, est définie par

450. Revenons maintenant au cas général. Les propriétés correspondantes résulteront sans peine de ce qui a été dit au n" 418, si l'on y prend G sous la forme eAJ+ AJ + AJ + A}, et si l'on fait ensuite un passage à la limite en supposant que e devienne nul.

Les cercles bitangents à /, en dehors de ceux formés de deux