CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES. 5l

forme A = o, A étant un déterminant d'ordre p -\- /• facile à former. Mais, comme les gk sont arbitraires, on peut ici, comme on le vérifie sans peine, réduire le degré des hi à q — i en y supposant y^+r~q en facteur; le déterminant A se simplifie alors, et l'on voit tout de suite que si l'on considère le système composé des gif, des h( et de la forme

rf-'A+yr*?*/*

A est un invariant multiple pour ce système, où les (x) et les (jr) forment deux groupes séparés de variables.

On pourra d'ailleurs diminuer le nombre des arbitraires figurant dans A et prendre en particulier

iH = yrr-{?Ay)i->-

h-i=yrï-3y-2{ri\y)l-r^,

Ou pourra aussi transformer A, comme il a été dit à la fin du n° 50, en utilisant des considérations analogues.

Si, par exemple, les cinq formes du sixième degré fK = axv, fo= bx>>, • • • sont liées par trois relations linéaires, le déterminant A devient

ni

Cfl.O

'^ir,

'.ÏT»2

«Vu ^6,0

;is

JÇlÇl

Nous avons ainsi, en particulier, un moyen d'obtenir d'une façon générale des conditions nécessaires et suffisantes, sans hypothèse préalable, pour que tous les déterminants d'un certain ordre, tirés d'une matrice ou d'un déterminant soient nuls, puisque l'évanouissement de A correspond à l'évanouissement de tous les déterminants d'ordre q — r -+- 1 du tableau formé par les coefficients des formes fi.

En appliquant ce que nous venons de dire aux dérivées par-

tielles de même ordre h d'une forme f, prises avec les coefficients numériques convenables, on obtiendrait un invariant du système /, (H), (r,), évidemment. En supposant /■ = //, puis remplaçant les (2j) et les (r,) par les (x), on retrouve ainsi le hessien de/ sous différentes formes : en faisant les (/|) égaux aux (ç), on obtient donc dans ce cas une condition suffisante pour exprimer la dépendance linéaire proposée; mais c'est une exception.