I. — Les invariants des systèmes linéaires

o3. Nous appelons système linéaire un système S composé uniquement de variables isolées et de formes linéaires.

Remarquons d'abord que l'étude d'un tel système revient à celle d'un système composé uniquement de variables des deux espèces; et même on peut encore supposer que toutes les variables sont de première espèce, par exemple. En effet, si les (£) sont des variables de seconde espèce, en faisant £, = x2, £2= — &i, il est clair que les (x) se transforment par la substitution cr de la même façon que les variables de première espèce, au facteur 0 près. De plus, on peut prendre une forme linéaire de première espèce sous le type («), de sorte que cette forme égalée à zéro définit précisément l'élément dont les coordonnées de première espèce sont(^c),

et que ces (x) se transforment, au facteur 0 près, comme les variables de première espèce.

A partir de maintenant, nous appliquerons ces remarques, en nous bornant aux variables de première espèce, et en prenant

toujours les formes linéaires sous kt forme (xx), ce qui permet

de les remplacer par les variables (x).