Soit donc un système linéaire S composé de n couples de

variables isolées (x), (y)-, (z), (t), (u)

Les invariants du système sont tous les déterminants du type ixy),

en nombre — -; ils forment, comme nous allons le faire voir,

un système complet.

Entre ces invariants existent des relations, car 2ft--3 seule-

ment d'entre eux sont indépendants : on peut choisir pour ceux-là (xy), (xz), (xt), (xu), ...,

(r-s), iyt >> v>«)

et tout autre déterminant tel que (:-l) est lié' à ceux-ci par la relation

(xy)(zt) = (xz)(yt)-(xt)(yz).

Tous ces invariants sont d'ordre — i , si les éléments du s\ slème sont à proprement parler des variables.

55. Démontrons maintenant que les invariants (-''y) forment un système complet, c'est-à-dire que tout invariant du système S peut s'exprimer en fonction entière des déterminants (./•)>. Plus généralement, nous allons faire voir que tout semi-invariant du système S, des poids respectifs P, ci P2, c-<i une fonction entière des déterminants {xy) et des variables x2* y>, :-2- ■■■, chaque terme contenant P( — Pj facteurs du second type cl - l\ facteurs (xy), par suite. Ce théorème, dont la réciproque est évidente, contient le proposé.

Il suffit de démontrer le théorème pour un semi-invariant linéaire par rapport aux diverses séries de va ri a Mes. Kn ellet, par l'adjonction de variables nouvelles en nombre suffisant, et prenant assez de fois la polaire de la fouet ion donnée, on obtient finalement une fonction, qui est encore un semi-invariant évidemment, et qui esl linéaire par rapport aux diverses séries de variables. I )<• cette fonction on peut inversement tirer la fonction donné, en supposant

identiques plusieurs séries de variables, d'après les propriétés des

polaires.

Ceci posé, nous allons faire voir en effel qu'un semi-invariant

linéaire par rapport à toutes les séries de variables, des poid> respectifs P, et P2, est une fonction entière de ( xy) et des variables x2, ys, z2, ..., celles-ci figurant en nombre P, — V2 dans chaque terme de la fonction.

Le théorème est vrai pour une série de variables évidemment : x2 est le seul semi-invariant des (.r), linéaire par rapport aux (x).

Supposons le théorème vrai pour les variables (y), (s), (l), ....