I. — Les résultants

6i. Soient deux formes

/= axP= n(a?a«>), g = &*/» = n(*ftW)-

Le résultant de ces deux formes esl la fonction

R = Ua(h(j))P = (— i)PP'Ubla(t)r = (—\)PP'TL(aWbW),

où aj,!M' par exemple désigne ce que devient f quand on y remplace les (.r) par les | l>'J]).

R est un invariant d'ordre />/>' du système formé par/, £, et les (#), des degrés // cl /; respectivement par rapport aux | a) et aux (6). R=o est évidemment la condition nécessaire et suffisante pour que y et g aient au moins nue racine commune.

Si y est le produit de deux formes /', /", le résultanl dey cl g est évidemment le produit des résultants de/' etde^, cl dey et g.

Si y et g sont deux formes de même degré, le résultanl des formes À,/+y,2»', [J-\J ~r [J-'g, les (a) et les (u.) étant des constantes (jiielconqucs est évidemment (àul)^'R, R étant le résultant de y et g; R est donc dans ce cas un combinant des formes y et g.

65. On peut calculer le résultanl l! en parlant de sa définition : voici d'autres moyens plus simples.

Les formes f et g sont liées, quand elles ont une racine commune, et seulement dans ce cas, par une relation telle que

y et g' étant des formes des degrés p' — i et p — i respectivement. Cela revient à dire que les p — p' formes de degré p -+- p' — i,