CHAPITRE IV. I.KS RÉSULTANTS ET LIÎS DISCRIMINANTS

x^"1/, xP'~2x2f, • • • , x^~lf: xp~lg, x^Xzg, . . . , .r(; ', qui forment deux systèmes invariants, sont liées par une relation linéaire. Le déterminant de leurs coefficients, qui est des degrés p' et p par rapport aux («) et aux (/>) ne diffère donc du résultant que par un facteur numérique.

Supposons maintenant les deux formes f et g du même degré p, et écrivons-les de toutes les façons possibles sous la forme

'iffÇ'-r

/>i etyj2 étant deux entiers positifs dont la somme esty? + i.

Les p formes /, g2 — fïg\ •> c'e degré p — i , s'annulent en même temps, si f et g ont une racine commune, lorsque l'on prend pour (.r) cette racine. Le déterminant des coefficients de ces formes, qui est précisément du degré p par rapport aux (a) et aux (6), ne diffère donc du résultant que par un facteur numérique.

Si les formes f et g n'étaient pas du même degré, si l'on avait p'<CPt par exemple, on pourrait encore appliquer le même procédé : on remplacerait g par gg\ g' étant une forme arbitraire de degré/? — />'; on formerait le résultant de /"et de gg' comme nous venons de le dire, et on le débarrasserait du facteur étranger constitué par le résultant de /et de g'; on obtiendrait ainsi le résultant R de / et g. Le facteur étranger est facile à former si l'on choisit g' d'une façon convenable : si par exemple gt= (xy)P~P'} le facteur étranger sera (aYp)P~P'; si, plus particulièrement, g'=z xP~?\ le facteur étranger est ap0~P '.

Supposons encore/ et g du même degré, et rappelons-nous que si alors/" et g ont une racine commune, cette racine est au moins double pour leur jacobien J(/, g), et par suite annule les deux dérivées partielles de ce jacobien.

Si alors on considère les ip — 2 formes de degré ip — 3

?J(/, g) dJ(/) g) ,,3 f Ti'-'*r,f x>'~% f xp~3 »■ TP~3 o-

— , — , xv j, xl X-îJ, ..., j 2 J, U 1 ff, ..., x.2 0,

il est visible que le déterminant de leurs coefficients ne différera du résultant 1À" de f el g que par un facteur numérique.

On peut ramener le cas général où les formes ne sont pas de

même degré à ce cas particulier, en raisonnant comme précédemment.

On pourrait encore, dans le cas général, écrire comme résultant le déterminant des coefficients des formes J, xff~*f, . . . , .r?;'-2/, xp~- g, .... oc?-'* g, de degré p -f- p' — 2, et en nombre p-hp'-i.

L'identité des différentes formes que nous venons de trouver pour le résultant est facile à vérifier directement.

66. Nous allons non- occuper maintenant de la détermination du nombre et du calcul des racines communes à deux formes f et g, lorsque leur résultant R esl nul.

On peut partir de deux points de vue différents : on peut, en effet, chercher combien de racine- «le g appartiennent à /', ou combien de racine- de f appartiennes kg] mais on peut aussi chercher le nombre proprement dit des racines communes à y" et à g, c'est-à-dire encore le degré du plus grand commun diviseur de f et g. Dans le cas où les formes ont des racines multiples communes, il est clair que ces deui points de vue conduisent à des résultats différents. Si. en effet, (y) est une racine commune ày*elà g, multiple des ordres q el q' pour ces deux formes, parmi les racines de g appartenant à /', < v< compte q1 fois; parmi les raciues dey* appartenant à g, (y) compte q fois : parmi les racines communes à /'et à g: 1 r compte un nombre de fois égal au plus petit des deux nom lue- y el q'.

Cherchons d'abord combien de racines de g appartiennent à y*, et calculons ces racines.

Remplaçons f par /' — '/.//. X étant un paramètre arbitraire et h une forme semblable à f;h = Cxp. Le résultant de /' '/.// et de g sera

Supposons que q racines de g soient (6(,)), (0{'- (^q))j

appartiennent à f, et pas davantage; alors on a directement

R' = /Me i, i; Pc 1, - r ■ ■ ■ ' ' 4- a '• 1, 7+1 r \ . . . 1 " /, r r - À C i, r

On voit par suite que ce cas est caractérisé par ce fait que la po-