CHAPITRE IV. — LES RESULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

laire D*CR est nulle identiquement pour k<iq, c'est-à-dire que les dérivées partielles de l'ordre q — i de R par rapport aux (a) sont toutes nulles; en outre D^eR n'est pas nulle identiquement, et contient le facteur c^<> }r . . . c{b </ y ; il en est de même d'ailleurs de tous les coefficients des puissances de A dans R'. Ceci donne donc le moyen de calculer les racines de g qui appartiennent à/, puisque D£CR est précisément de degré q par rapport aux (e). Si en particulier on prend h = (xy)P, les (y) étant des variables quelconques, l'invariant D^'R exprime par son évanouissement identique que q racines au moins de g appartiennent à /; et l'invariant D^6.R est à un facteur près la puissance /?iclie du produit

(yb(i))(yb^)...(yb{i)).

On raisonnerait de même en renversant les rôles de /et g.

Si les coefficients de / sont considérés comme des formes de même degré par rapport à des variables À,, A2, .. . Àrt, et si, lorsque entre ces variables existe l'unique relation irréductible <p(A,, A2, • • • À„ ) — o, on suppose que q racines de g appartiennent à y, il résulte de ce qui précède que le résultant R de/ et g contiendra le facteur cp à la puissance q .

67. Cherchons maintenant à reconnaître le nombre des racines communes à/ et g et à les calculer.

Si les deux formes f et g ont au moins q racines communes, et seulement dans ce cas, on sait que l'on peut déterminer deux autres formes/' et g', respectivement des degrés/?'— q et p — ■ q: telles que l'on ait identiquement

Ceci revient à dire qu'il existe une relation linéaire entre les formes x^f, xp' ~q~* x2f, . . ., *£'-*/, x^ g, . . ., x^ g, en nombre p -\-p' — 2.q + 2, et de degré p +/>' — q', ces formes constituent deux systèmes invariants. Si alors on procède comme au n'J 50, en adjoignant à ces formes les suivantes :

x'{-"-h, x^-tJi, ..., x't-h, An. — I. 5

h étant une forme arbitraire de degré p — p' '— >q -f- 2, le déterminant des coefficients des p — p' — q-\- 1 formes ainsi obtenues sera un invariant de y, g, h, dont l'évanouissement sera une condition nécessaire et suffisante pour que/et g aient au moins q racines communes. En particulier, on peut prendre h = (xy)P+P'~-i+-, et l'on obtient un invariant de/, g et des ( r), soit 11,,, qu'il est inutile d'écrire : c'est un déterminant d'ordre/) -r-/>' — r/+ 1, des degrés

(CJ — l)(P ~ f' — 27 ~ 2)iP' — 9 " ' * P — 7 + • respectivement par rapport aux (y), aux (a) et aux (b). Pour q = 1 , R? est le résultant de /et g, tel que nous l'avons calculé au n° 65.

Supposons qu'il y ait précisément q racines communes; alors, h étant arbitraire de degré p p' — iq, les formes .r',''-?-1/, ....

<"7 I/5 xpK~q~Kg '': '< '.-• ■>'[ '/'• •••, x\ '//. de degré

p -r- p' — q — 1, et en nombre p -+- p' — q, ne sont pas liées par une relation linéaire quand h reste quelconque; mais si h admet

l'une des racines communes (c(,)), (c(- (c(^) à f cl à g,

une relation linéaire existe évidemment entre les formes considérées; le déterminant qui, égalé à zéro, exprime ce fait est donc divisible par h(c{,}) /i(c(-)) . . . //(c('/)), et comme il est précisément de degré q par rapport aux coefficients de li, on a ainsi un moyen de calculer les racines communes à/el à g.

Si, en particulier, on prend A = (xy)P+P'~2i , le déterminant considéré est Px,/a , . cl est à un facteur près la puissance(/> -\-p' — 2 q'y,mc du produit ( ycl,))(ycliij . . . < jv '/ .

Ajoutons qu'il est facile d'exprimer I » ,7 en fonction des racines de / ou g] on a sans peine par exemple, à un facteur près, la valeur deR?

V [(yb'v)(yb- . . . vi,i 1 \P+p--jç+*f(bW) . . .f(b<Pn)

On pourrait encore remarquer que l'on peut toujours vérifier l'identité ff -+- gg'-\- hh'= o où/', g' clh' sontdes degrés// — q, p — q,q — 1 , etoù h est une forme arbitraire du degré/>~// — 2 q-\- 1 . Si/ et g onlq — 1 racines communes, l'équation /*'= o détermine ces racines, tandis que, si /et g ont au moins q racines communes, h est nul identiquement. On définit ainsi de nouveaux invariants qui peuvent se ramener aux précédents : pour q = i, //est précisément le résultant.