CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

D'après cette remarque, le discriminant du produit de deux formes est égal au produit de leurs discriminants multiplié par le carré de leur résultant. C'est ainsi que l'on voit que si dans S on lait cip^ =0, les termes restants ne diffèrent que par un facteur

numérique du produit de crp{ , par le discriminant de — — -•

Plus généralement, si ap^, ap i t, a^,2 2, . . . sont divisibles

par À*, X*"1, Xk~- A étant un paramètre, le discriminant de f

sera divisible par AA' A l) : si, en effet, on considère A comme un

infiniment petit, l'équation / <>, en --, a /" racines infiniment

petites de l'ordre de).; et par suite EL («/«y)2 est divisible par)/(/f~,). Un même raisonnement peut servir dans les cas analogues.

71. Cherchons à déterminer le nombre et la nature des racines multiples de f lorsque son discriminant est nul, et à calculer ces racines.

Soit g une forme quelconque semblable à f, g= bxP, et X un paramètre arbitraire : le discriminant de^-f- \g est

J¥= - DAASH-X^Py~a D»ftS

rl * 2;i-:i l 2

ïl>-;i • 2 * lj>-

S' est aussi le résultant de formes f\ H- \g\ , fi > -g* que nous appellerons /. , et /..,.

Considérons le résultanl 11' des formes

a i/'i -f- .ro/.-, = /-t- lg, kigi—kigi = i(f, g);

il contient S' en fadeur, et aussi le résultant II de/" et g, puisque

si l'on a .r, /.', -f- ,r.,l> \> = o et kt g% — /.'j,A'i=o sans que /,-, et /fa soient nuls, on a .r, g , -f- x»go = g = o, et |)ar suite /" = o. En comparant les degrés par rapport aux coefficients, on voit que l'on peut écrire R/ = mRS', m étant numérique et indépendant de X. Cela étant, supposons que («(l)), (V/(2)), . . . («w) soient communes respectivement r/t, ûr2, . . . y, fois à fK et/'a, et par suite soient racines multiples des degrés q{ - - i, ^2+ i> • • • pour /; pour abréger, soit q — qt -f- r/» -j- . . . -f- <//. Appelons aussi (c(,) ), (cf2)), . . . (ci'1P~-~i)) les autres racines de J(/, £■). On a

et le coefficienl de '/.' n'est pus nul dans cet h' expression, si g reste arbitraire; si en effet a(c(< r par exemple était nul, on aurait pour les (x) é^;iu\ aux (c(,)), à la fois

sans que /, el /'.. fussent nuls; par suite, on aurail ;m>si xKgK- -■•'--! g o, ce qui esl inadmissible.

Donc,/, el /'. ayant q racines communes, distinctes ou non, on voit d'abord que R.' el par suite S contient /.'/ en facteur, sans que le coefficienl de /.'/ soil nul : les dérivées partielles de l'ordre q - i de S par rapporl aux [a sonl donc toutes nulle-. et \y'(lll S n'esl pas nul identiquemenl .

Remarquons maintenant que si I <>n pose

■l Ti,

le coefficient de 7f dans R est égal au produit «lu résulta ni de g et 4> et du résultant de f el tp. Remplaçons alors g pai r ;>/'. // étanl une forme semblable à /, el u. un nouveau paramètre arbitraire, el supposons que admette la racine ! a ' I par exemple. Si I! design |ue devient 11' dans ce cas. 11' esl divisible par '/:< . el le i oefficienl <le '/' esl le produit du résultanl de ;/// el de ô par le résultant de /el d< désignant ce que devient p. Le résultanl de g ix/j el <l<- y contient en facteur ').'>< ; le résultanl il«' /'ri x tient '!«• même u.' +l en facteur,

puisque / admet y, i fois la racine (a(< ». que s admet cette même racine au m. .in- une ï"i- dans notre hypothèse | 16), enfin que - se développe sous la forme u><p< . ... Le coefficient

de \i dans El" contient donc u.2* ' en facteur; le résultanl dey ei de g 4- tx/i contient d'ailleurs \>'< ' ' en facteur; donc finalement le discriminant S de/ u.A) contient a'/;;.'/ en facteur.

D'après i ela, les polaires l> I» kS . qui sonl les coefficients des termes )//•;/ dans S", les étanl les coefficients de A. sonl

tontes nulle- pour /, y, . dans l'hypothèse faite, el par suite D£4S contient le facteur b . I lomme I >,',, S est de degré q par rapporl aux (b), ce! te quantité esl 'lune égale, .'• un Lui eu r près indépi ndanl des i b . au produit A'. , /< ....

On a ainsi le moyen de calculer les racines multiples de/. Si, en