CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

particulier, on prend g = (xy)P, l'invariant D^'S exprime par son évanouissement identique (\x\ef\ etf2 ont q racines communes au moins, et l'invariant D^S est à un facteur près la puissance/?ièn,e du produit (y«H))?'(/tt(2))^ . . . (yaW)n.

On fera une remarque analogue à celle du n° 66 relative au cas où les coefficients de f seraient des formes de même degré par rapport à des variables ),,, X2j . . . , \n.

72. On peut aussi appliquer à ft elf2 ce que nous avons dit au n° 67; ces deux formes auront q racines communes si un certain déterminant Sq est nul identiquement; S^ est d'ordre ip — q — i , des degrés i{q — i)(p — q) et 2 (y? — - q) par rapport aux (y) et aux (a); dans ce même cas, S?+, sera à un facteur près la puissance z(p-r-q — i) du produit [ya{i))(i>{yai--))<i'- . . . {ya[i))i <, considéré plus haut.

En fonction des racines de y, on trouve, à un facteur près, pour Sq la valeur

-[(j«(1))(/«(2i) •• (ya{fi~l))Y-{i>-i\aW aW+1))'2 . . . (alP-UaP)*.

On peut aussi appliquer ce que nous avons dit au n° 69 de la façon suivante : si l'on veut exprimer que y a q racines d'ordre h-\- 1 de multiplicité, on exprimera que les h + i dérivées partielles d'ordre h prises avec les facteurs numériques convenables ont q racines communes. On obtiendra ainsi un invariant représenté par un déterminant d'ordre

Nous n'insisterons pas davantage sur ces questions.