R = 4DD'— II

81. Envisageons le système formé parjf, g et les (x)\ on aura les invariants nouveaux f, g et le jacobien de f et g d'ordre i, soit

J = J(/, g) = (a0bl — alb0)xil- a ,6j— ". &0)a?ia?j-4- (a, b2 — a-ibx | a. ,.

qui avec ceux déjà indiqués forment un système complot. Ces six invariants sont liés par la relation au n° 18

aD II /

ïJî- Il aD' g .

ou

En fonction des racines, on a

J = 7 2(a<"6" M va »')(^(î')-

J est une forme quadratique; son invariant est — comme le

montre un calcul facile, el comme on devait le prévoir. On a donc an^>i

R — \(a0/ji — aibi)){aib2— << .bK \ — (a0ba — <t.J>„ )-.

Les invariants 11 relatifs à .1 el /, ou .1 et ,4', sont évidemment

nuls.

De plus, on ;i

aJ(J,/)=-H/ + aD^,

aJ(J,^) = H^-aD'/.

82. J est nul identiquement si / et g sont identiques à un facteur près.

Si/et^ont une racine commune et une seule, de sorte que R = o, J est un carré parfait, dont la racine carrée est le facteur linéaire commun à f et à g\ on obtient aussi ce facteur en prenant la polaire Jxv, et cela, quels que soient les {)')•

Dans le cas général, comme J-(J., /)= o, et J-(J, g)= <>, on

cnAPITRE VI. — LES SYSTÈMES QUADRATIQUES. 85

voit que J = o représente les éléments doubles de l'involution définie par les deux couples y = o, g = o.

Un couple quelconque de cette involution est représenté par une équation telle que /.)/"+ X2£' = o, et réciproquement. En effet, si les éléments définis par trois formes quadratiques y, g, h sont les couples d'une même involution dont les éléments doubles sont définis par /. = o, on a

et l'on en déduit immédiatement que le déterminant des coefficients de f, g, h est nul, c'est-à-dire que ces formes sont liées par une relation linéaire.

Le faisceau de formes )>,/ + \2g correspond donc à une involution ; l'étude directe de ce faisceau permet de retrouver quelquesuns des résultats précédents. En effet, l'invariant de \if^r\ig est )^D + )v, À2H -h )^D', et l'on en conclut l'invariant H ; si le déterminant ainsi formé est nul, \Kf -\-\2g est un carré parfait et représente l'un des éléments doubles de l'involution; éliminant les (1) entre les relations

Xf D -t-X^gH-i- X|D' = o, le résultant

ne doit donc différer de J2 que par un facteur numérique, et en effet c'est — J2.

83. Si J n'est pas nul identiquement, et si R = o, /et g ayant une racine commune et une seule peuvent être ramenées à la forme canonique simultanée

que l'on peut encore simplifier, suivant les circonstances.

Dans le cas général où l'on a R=^o, prenons pour éléments fondamentaux nouveaux, O', et O!,, les deux éléments distincts définis par J = o ; alors f et g deviendront

et l'on aura pour les invariants D, D', H, R, J les valeurs

a'0a'2, b'ab't, a'0b't-+-a'%b'0, -(a'06'2 -a'tb0)*, {a'9b't — a'tb'9)^tx't.

Voici comment on peut exécuter La réduction de/ et g à ces formes canoniques. On a

J^J,,= [j^-Kay)^/- | |[j.n-(^)^/- * |les (y) étant des indéterminées. Posons

^ = Jxv-(^)^/- ':.

le déterminant de la substitution ainsi définie pour passer des (.r)

aux (./ ' i est- -' ; écrivant alors que 1>. I)'. II../', u- 1 sont des

invariants, on a

D .... D ,.. ., Il

b«bt = — —y» «,>>'■