CHAPITRE VII. — FORMES CANONIQUES, FORME CURIQUE, ETC

Connaissant Jes (tS1)\x) à des fadeurs près, le problème s'achève sans difficulté, et Ion voit que si K n'a pas de racines multiples, la réduction à la forme canonique est possible, et d'une seule façon 5 dans le cas contraire, cette réduction n'est pas possible.

Rappelons que, à un facteur près, l'équation canonisante R = o peut s'écrire sous la forme

ap-2,2

Clp—\ p+\

ap— 3 p+Z

Xix'l l

86. Supposons maintenant que p soit pair, égal à :>./?. Avant d'indiquer la forme canonique à laquelle on peut réduire y, nous allons démontrer une proposition auxiliaire.

Soit g=bxn une forme quelconque de degré n, supérieur à l'unité; g admet un invariant h = cxn de même degré et tel que

l'on ait l'identité

■J"U', g Ii)

En effet, pour déterminer une forme h vérifiant cette relation, on a précisément autant d'équations linéaires que d'inconnues; la fonction k est donc unique et, d'après sa propriété, est évidemment un invariant. Si, par exemple, n = 2, on trouvera

où D est l'invariant de g.

Ceci posé, on peut en général écrire/* sous la forme

/= S(a<« | x)P -+- Agh,

le nombre des formes linéaires (a(^ \x) étant égal à — ou n,

g désignant le produit n(a(/)|#), h étant l'invariant de g que nous venons de définir, et \ une quantité à déterminer.

Le nombre des inconnues est en effet p -+- 1 , comme celui des équations de condition, et en général il n'y a pas incompatibilité.

Considérons l'invariant J" («,/*); un calcul direct donne, en faisant g = bx«,

— n6»-i,i(a„+i|/t ia?7 — nan„.r'l ' ,r2 — . . . i

'^"-ii , ,, ...

— — o«-s,a(«»+-s,/i-?a?i-t-raan+i,«-ia?î '/; + ...)

d'autre part,

J« (*,/) = SJ»[^ (a' |-r)/']-ÀJ"(.^T A'/-:

or. J"[^. ( 7. ' ./ ^] = o, d'après la déGnition de g, elJ"(g, gh) = :g : donc J"(g} f) = \g : d'où les équations de condition

el par élimination des i A i

rt rt-t-1,/1 - l " n,n — A Œ/j,/|-J- "/, l./H-l

Connaissant une racine A de celle équation de degré n-hi, les équations de condition déterminent les (6), et par suite g, ;'i un facteur près. On connaît donc, à des facteurs près, les formes linéaires (a''-' \x i, el le problème s'achève sans difficulté.

La réduction de f à la forme canonique est donc possible en général de n — i façons différentes.

Remarquons que les coefficients de l'équation en X que nous venons d'obtenir sont évidemment, comme les racines de celle équation, des invariants de /. Le coefficient de )." est d'ailleurs nul. Le terme constant, égalé à zéro, exprime la condition pour que f puisse se mettre sous la forme d'une somme de n puis-